Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. de. 22. N'. 7, 8.

7. Au moyen de C. P. 109, on a pour p2 < 1:
f2ib 2b267r "o nr o pn 2b7r
1(1 - -2pp Cos. x -t p 2) a d(I = - t dx 2 2 - Cos. nx =-2 - d Cos. vxm. x" dx =
0 0
m pn ira- all /a+ \ 011a-\ 2 — [I- -a
= 2..,, (,+ --- (2b7)T. -, 2 a 4- (2b 7)a - Cos. --
1 12 m —O n /+ m- 0 1 2 -2 } +2
d'apres I'integrale de Me'th. 3, N0. S. Substituons encore une autre integrale definie de Meth. 3,
1 1 fCo b
N'. 7: + — = - r+1 e-,n dy d et nous aurons: 1 (i -'2p Cos. x p ) va dx =qm —r 2 7 m — 1 </1
(0 0
-_ 2 -tll (2b 7T)a —, Cos. --.. n fl d+ 2' (pe-),, ou, puisque p2 < 1,
m=o ir-1/1 \ I (P1
0
a+1I )?l (a~1) In-ll( e) -cos -p
(a+ l)nl/- n dy
_-a- _ p -—; — aa+) b/)( —n+ Cos. -y l-, ou nous avons pris n pour mn+ 1. Mais on a:
o
2!17'COS5. -— y (i^n(-jl }=(yil(-yi)n, et cl'apres C.P.61: 1 - - - _ (l-tK)_ 1 —0 - I+1
2 i n/
2b- p rc dty a o a+l)nl \n 1 -V+\
dolg e: I(l-xp Cos. -Fp2) ja z(2b n -b —r )a~- + l s y dy
J v a+.1, ] J e-p 1 eY --- 1 ll 2b7r i
o o
PCo —( {()nn0 dt_ (__ 1 ( y_ t+l a +pe \I. a '- (\-1 )~ +l ---zo +l
P a (26^ 11 - l V - F7- i- ai^-|
2 1 2n/1 b'
a+1 j eY-p 2bn) \2bnr j 2bnj \92bn i
0
-= + - ' d — (2:q-.abn. 4,'ji)-+ l + (2 -yi) l-2 (2b7r) (I)a+ l - ( i)a + - yi)al], fora.1 ep —P
mule dont on a eu besoin au N". 47 de la Partie Deuxieme.
8. I1 y a avantage quelquefois a employer les de'veloppements de fonctions complexes, et c'est
ti^ dx
ce que nous voulons dmontrer par quelques exemples. Etudions l'integrale -.-d.
/ 1 - p Cos. x - q Sin. x
que p et q y soient tous les deux imaginaires de la forme p = g - ii, q =k + ii, et voyons
en premier lieu s'il y a des cas de discontinuite. Le denominateur devient par la substitution des
ROBERTS deduit encore cette mhnme inte'grale de la quadrature de 1'Ellipse spherliique par Meth. 44; voyez
Journal de Liouville, T. 10, p. 453.
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WIS- EN NATUTTIK. VETH. DER KOINNI(I. AKADE3MIE. DEEL VIII.