Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11. de. 22. N,5, 6. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
a l'aide de Meth. 25, N". 5. Et de la meme maniere:
Cos. px dx 1 dx
1 — 2rCos.px+ r2 x4 + 2q2 2 Cos. 2O + q r(l r2) x"' + 2q2 x2 Cos. 2 + q4
o 0
920o-1 + -1- ro2 0
[-1 +1 -d.-r.2rnCos.npx] = -+ 2 — e-n-)q Cos. Cosec.2X..Sin.()tnpqSin.))=
o 493r(l-'r2'Cos.).r(l-r2) o 2qa
_1 1 1 +r- r__ 1 -- e- pqCos.) Cos. (pq Sin. )
4q3 r (1 — 2) Cos. Cos. 1- re -pqCos. Cos. (pq Sin. X) + r2 e-2pqCoS t
1 + r2 re —PqC~os Sin. (pq Sin.) )
Sin.). -- 1 re-pqCos. Cos. (pq Sin. a) + r2 e-2pq Cos. ~
Cosec. 2 X Cos. (pq Sin.,). Sin. I) r (epqCos. -- e-epqCo)S.) ~ (1+r2) Sin.(pqSin. — )
2q3 (1-r2) ePqCos. - 2r Cos. (pqSin. )) + r2 e-pqCos.
1 dx
j 1 2r Cos. px +- r2 4 + 2r2 x2 Cos.2: + q4
o
Cosec. 2 e pqCos. _ r2 e-pqCos. + 2 Sin. (p q Sin. -- ) (1
2q3 (l - r2) ePqCos0 -_ 2r Cos. (pq Sin. )) + r2 e-p(qCos..
6. D'apres C. P. 109 on a:
[\an far- r ~1a) 1 co 1 1T \
dxl Sin,zz = dx -12-2-6Cos.2nx = ----aw7-2 1 - - Cos. 2nLdx = —ar712. [239]. (1264)
f j [ in J 2 in 2
0 0'0
E (x ) n' r n22 E (x),vdx
Commne -— +- -- 2 2) +1).X2 [240], on trouve: -,' 2)0
0
d (P xdx Ir (P xdx oo (1 /2\2 / wP xdx
_= ~ ~ ~ B -- - | — ~ --- — -2 -- ( 2n+ ')5 -= _ _) -- - -J
// (p2 l - 2) - 29 (p 2 __ 1 2 2-/21 /(p 22 " 2)
0 0
Tr /I fn2\ 2 X2 'I dx n7F7 'Tr /1-nj2\2 2 2/ n
~+' - i'V~~l(2n+l), ~1 | - 2 -w - ( — (2n+) p^ 2, (d1'aPs Meth. 3, N. 3),
I - 2 2) p 2 2n/2 if2 ln2 112
2?^^;' J l/(p9 ^) X. P + v i l;?
0
Tr wu ltn/2 prm p I",/2 1 T p
2t 2a i2/2l 2 o Xf/, 2 2 (' V 2/(i — vp2)
[239] Pour a =1 on retrouve les integrales de Meth. 4, N~. 3.
w rcon (l/ 2X2 n
[240] Car VERHULST, Traite de Fonctions Elliptiques, p. 131 trouve: E (a) --- \ -
2 0 2f/2J n- 1
ce qui resulte aussi du developpement enonce dans le texte.
2 E (p Sin. ) i. c
[241] Pour x =p Sin.y on acquiert: - n. == -- (T. 3 75, N 3).
2 1-p1 ij., y 21/( — )
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