Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'VALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II1.:de. 22. N. 1, 2.
separement: de telle sorte on acquiert une nouvelle s6rie comme la valeur de 1'integrale definie
primitive; et cest cette serie qu'il faut sommer, lorsqu'on veut trouver une expression finie pour cette
integrale. Lorsque au contraire il n'est pas possible de determiner la somme de cette serie infinie, -
car, lorsqu'elle serait finie, on peut la considerer comme une fonction entierement determinee, -
il en resulte une relation entre une integrale definie d'une part et une serie de l'autre: et ces
relations sont souvent d'un grand interet tant dans la theorie des integrales definies, que dans cele
des series. - Mais ici il ne faut pas perdre de vue, qu'en general la serie, qui resulte du developpement de la fonction a integrer, doit etre convergente entre les limites de l'integration, puisque
suivant N~. 4 de la Premiere Partie, l'argument reoit toutes les valeurs possibles entre ces limites;
et que par consequent cette serie doit continuer de valoir pour toutes ces valeurs. Mais d'un autre
ebte ce ne sont pas ces series elles-memes, qui se presentent dans le resultat; on les integre premierement par rapport a la variable. x entre des limites donnees, et il suffit, mais aussi il est absolument
necessaire, que la serie int6gree soit convergente. Un exemple nous montrera qu'il est possible qu'une
00X cG~~oo
serie non-convergente le devienne apres l'integration. Les expressions. Cos. nx et.S Sin. nx ne
1 1
convergent pas; puisque pour un x egal 'a une partie aliquote de wr, soit I, il vient un terme
qui se repetera pour la valeur 2n n -- de x: ou, en d'autres mots, les termes, dont les indices different de 2a, seront egaux: c'est-a-dire, ces series sont periodiyues et il l'est pas possible d'en assigner
'une somme. Mais quand on les integre par rapport 'a X, sans avoir 6gard B. des limites, on obtient:
dx c Cos. nx = Cos. nx dx = z, dx Sin. n = Sin. nxd dx =- o.,
i 1 1 1 nj
et les deux resultats sont des series convergentes. [232].
0 xP dv 00 rxP dx P 0 dd.xp 1
2. On a: I -- -
1+2OCos. f (i + 2-4xSin.2 ( J (1+q-)2 j (I 1-2 2
ol+X)X 2
(1 0 + 0 (1..+2)2
J') (1+. Oi ^^+.x)2n (2inJ jX)2n =2(2Sr n (1+)2n2* Ce de'veloppement est
0 0
4x
permis ici, puisque 1 est toujours moindre que l'unite, et que (Sin. I })2 reste toujoursplus
(i + x)
petit que l'unite. Au moyen de l'integrale de Meth. 3, N~. 2 et ensuite par (C. P. 85) on trouve:
[232] Cette methode est souvent usitee par LEGENDRE dans ses Exercices de Calcul Integral et par
POISSON dans son Memoire sur les integrales definies et sur la sommation des suites dans le Journal de
l'lcole Polytechnique, Cah. 16, p. 215-246; Cah. 17, p. 612-631; Cah. 18, p. 295-341; Cah. 19,
p. 404-509; Cah. 20, p. 222-248. - Voyez encore CLAUSEN, Journal von Crelle, Bd. 7, S. 309. --
BONCOMPAGNI, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74. - DIENGER, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119. -
ARNDT, Grunert's Archiv, Th. 6, S. 434.
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