Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. iMd. 21, 22. N". 4, 5. 1. TIHEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

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plus petit ou plus grand que l'ulite; lorsque q est < 1, on a Lim. I (q2P - 1)P i ( —1)~ =
=11 0, et au contraire lorsque q est plus grand quoe 'unite, Lim. (q2P-1I)P Lim. (c2P)P ++Lim. (1- q-2P) = Lim. (q)2 + 1l(1)o = l(q)2 == 27 1q. Par consequent il est:
| (1 —2qCo~s.x + q2)d x= [O (. 3 3,,(q >1). [229]. (T'. 53, N. 1o7 et 18).
0
On a ecrit pour les conditions q2 <1 et q2 > 1, parce que dans la discussion precedente un q
negatif ne changerait en rien le raisonnement.
rq+i p_ 1p-I n\5. On a encore: I (x) dx Lim. 62 Ir (q + n) = 1Ij.- - Ir q+-). Mais dans
J P o
la theorie des fonctions Euleriennes Gamma il est un theoreme connu:
r()r (q + r (q...r q++- 2 _ r(pg) [230].
\?! \ Pi \ P I pM - (2 7)iO-P) L J
Prenons les logarithmes des deux membres de cette equation: alors le logarithme du produit dans le premier membre devient exactement egal a la somme des logarithmes dans notre equation primitive; par
(qIcl r 1 (pq) 1 2pq — 1 P —
suite: Ij I d rLi (xpq)-Li. p- + fLim. - 12n.
q
I 2a —
Maintenant supposons pq = a, alors: | I (x) dx Lim.- 1 F (a) - Lin. -- 1p + Lim../2 T.
J p ~2pP 2 p
a
P
Pour la limite 0 de 6 on a Lim. p -, CdonC:
I F (,x) x 0 r (a) l - 0 q +. [23 (. 3 ( 367, N0. 2).
0. 2. AMTHoDE 22. DEVELOPPEMENT DE LA PONCTION A INTEGRER OU D UN
FACTEUR DE CETTE FONCTION.
1. Cette methode repose sur une idee, qui se presente de pres, celle de de'velopper une fraction
sous le sighe d'integration dans une serie, afin que nous puissions integrer ensuite chaque terme
[229] Sur une autre deduction voyez Meth. 4, NS. 4.
[230] Voyez SCHLOMILCH, Analytische Studien, I, Cap. 2, S. 38.
[231] Deduite Meth. 4, N~. 15.
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