Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11I. Mld. 19. N~., 2. TIEORRIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

et pour q = 1: | (1 -+2 =- l2. (T. 160, N~. 2. [22241.
l 2 -- 8 o
0
2. Soit au contraire I (q,x — 2), alors le theoreme nous donne, pour o=p:
1+ x
plI(I -px) dx P(I P [ [P 1 dp
J 1+ 2 + dx + I1. ---- dp. M Aais ii est [225 -o 0 0 0
P1 -pdp 1(1- px) x 1 l(l+p2)
- -2 -i —= 4 =1 -- --- + -+- -Arctg.p- — } —; changez-y x en p et substituez, alors:
1+p2 1 p- 1+ 1 +2tt f 2 1dp 2p
_P(1 —px) _ d jP (l- _ ) P (I+I x( p )2)
-i-' —l --- --— [-x2) dx-^ I d.+-.- -.D- Arctg. p.1(1 -- - p)2), d'oI do — ouveaup
+J1,2 IJ 1^ 2 2+ (2 + 1j2 p )+* *
o 0 '0
p'l( ~p) dx Xpl(1 —.)( + (x id 1X
1+ 2 j +xo /l 12+ IV
1,(1 )2 --- L+!. --- - -& _Arctg.p.1(l + p2)........ (1229)
(1_ —x2)2 1 -- 2X2
Ajoutez-y la premiere integrale du N~. precedent alors:
[224] Deja deduite M6eth. 9, N~. 5. - On peut agir encore de la imaniere suivante. 11 est:
1 dx dx -p pq- I1 2- i 2
/=' _ —p, fiq2+- -]: l(1 —p '-pqArctg. -+! --- ' *(1227)
— pxq i q+xj +P2222 it + px2 ' 1 2 2c - - -p 2. 2
0 0
Multiplions de part et d'autre par 1dp et integrons par rapport. p1 entre les limites 0 et 1, il vient:
j y(+,2 ~x2 - d+p2 —? t (qi~ iul+q2)+ 2q + — q2- Atrct I qq
o o
d'oi en rassemblant les integrales sous uu lnemle signe:
1 4- 2 dx 1 f-r ]
l + -I X2 - dx- It + A q (1228)q, _ ] 2
]J^ 2+2ij2x2 2q(1+q2) 2 IV2 +y J +.
celle-ci, pour q ], donne de nouveau T. 160, N~. 2.
i225] Snivant la relation de Note 223 pour un 1 negatif.
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