Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

EIT AMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 111. Ma'. 19. N. I.

~ 2. MI;TIIO)DE 1.9. EMPIOI DE LA F'ORIMULE DE BERTRAND ET I)E QUELQUES
AUTRES FORMULES ANALOGUES.
1. Pour faire en premlier lieu une application de la formule de BERTRAND, nous commenlcerons.
par celle, qui a donn6 lieu h' ce theoreme [222]. A cet effet soit dans la forinule mentionneDe T,
N. 39, form. 74; F (o), ) d+ F (x,) x) dx )} _ (-)= (iP +X)
a c a a
1(1 +Qx*) fPI(+l'px) fPl/(l+xt2) () n P 1 p }
F(x,Q)= z —.,p, 0,alors: I — v -dx i+ dpl+p -d
fl 1 npdp I (1 + ) 11(1- +p2) T
0
Or, o,, a ['22S]: iT ---- +... cc q.ui
+ P2 a 2l + Px l +X- 1 +x -t' l - A tg';c qui
I (l +p2) p ( -+-)
devient pour p: -2 - ( + - - )( + P —p Anctg. p; et par suite il vient: l( -~l -) dx._
21+ I)' '1-~^
0
l{P(+I jX) I IIl(i+p ),+ A d P p (l+1x ') 1 Pl+p2)
] 1+x.2 1; lip 2 '+ rC l j 2+ 4J - +p] 2
+ Ar ctg.p.l(I +- 2)1 - (1 +p2), lorsqu'on applique l'integration par parties
q+-%v2 +P
0 o
au dernier terme dans l'avant-dernier membre. Or, dans le dernier membre les trois integrales se detruisent et le terme integre s'e'vanouit pour la limite inferieure 0 de p, done:
pl( +PXd.r =-Arctg. p.l(1 +p). (T. 188, N'. 15). Supposons p=/ q, px=y, il vient:
2
q2 -q +Arctg (q).l(1 + ),....... (16)
0
[2221 On pourra consulter BERTRAND, Journal de Liouville, T. 8, p. 110 et GKUSERT, Grunerts
Arciiv, Bd. 4, S. 118.
1 p' -- x__ P x
[2231 Puisqte: -- --
12+p2 1 + Pi; (1 + 2 ) (1 + P-) (1 +22)(,1 +P2) ' ( + O2) (1 +P2)'
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WIS- EN NATLIURK. VERH. DER KONINKL. AKNADEMIE. DEEL VIII.