Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I I. d.Ie 18. N. 25, 24.

oi maintenant il faut que q > 1. Pour q - 1 on trouve: e- Xli (ex)xP- d= -
Pi. (e ). j (1 ---y)yP
O 0
-- (p) r. Cot.p w. [21]. (T. 402, N.. 1). Pour p = 1 il vient:
e-qxli.(ex)= r(1) ( -)( Jj -1) --— l(q —l), (d'apres Meth. 9, N~. 28).. (1221)
o o
l S in. rx el Cos. rX
24. Au moyen des ddfinitions ' S Y - Si. (r',j) et dy -- Ci. ( x), (r T. 254, N~. 1),
on obtient enfin les theoremnes:
/ i. (rx).f (X) dX= 1 f I(x Sin.lr y c,......... (X XIT)
ar. i0 a
ef'.(i). f (v) d =-. /..- f(x) Cos. ra.y d.c....... (XXXIII)
a I a
Sin px
Pour en donner une application, soit dans la premiere f(x.) =,-; il vient alors pour a 0,
Sin. px dx f dy [ Sin. r y. Sin. px dx,
b= -: J c Si.( rx) 2 2 = -] -- -2 2 —. La derniere inte'grale a ete deduite
q2 - X2 q( 2 _ x2
0 0 0
sous (499), et differe de valeur selon que ry est plus petit ou plus grand que p. Lorsque p est
plus grand que r, le dernier cas ne pent avoir lieu et l'on a tout de suite:
~r~. Sin.px dx [-dy -- d in. qry
ics ~ilZ~~LZ: C~d r{'~ -- x f' d
Si. (rx) - - Cos. p. Sin. qry -- Cos. pq.
q -22 _X y 2q q
o 0 0.=-. —.Cos. pq.Si. (qr), p > r................. (1222)
2q
Quand au contraire p est plus petit que r, il faut diviser ]a distance des limites 0 et 1 de y
en deux parties de 0 ' - et de - a 1, amn qu'il n'y ait aucune incertitude sur la valeur a em1' j'
ployer. Des-lors on trouve:
[221] Car l'integrale de Meth. 22.. 11 donne pour p-I, -= I1 -:, o
[.Page.o. {(6 -) Cot.r,,......... (2)
0
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