Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET NIETlHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. M 18. N~. 15.

cas sera pref6rable. Pour y parvenir, ecrivons la meme integrale de Meth. 10, N.. 4 ainsi:
3J dy
Sin. rqy e-y- Arctg.rx, d'oi resnite le theoremre:
0Y,i Arctg. rx.f/(x) dx e-= Y --- Sin.r.x. (y.f) ()d.......... (XXI)
a 0 c
On voit que la difference entre ces deux theoremes consiste dans les places qu'occupent les fonctions
exponentielles et les fonctions circulaires directes, et l'on congoit aiseinent que sous la derniere
forme elle peut se preter a plusieurs applications, que refuserait la premiere; la difference qui existe
enlcore entre les premiers memnbres n'y fait rielln, puisqu'il est tres-aise de la faire disparaitre.
Sin. px
Pour en faire une application, soit f (x) - -, et a = O, b, alors:
q2 + x2
00 Sin. px dx [c dIy c Sin).p x SSin. ryxv
Arctg. x -- ---.l dx.On a evalud cette integrale Meth. 9,
Jq - + jx y.j q +Y x
o 0
N~. 17, tnais on y a vu que sa valeur differe selon que p est plus grand ou plus petit que ry;
il en resulte que l'on doit diviser l'integration par rapport ta y, entre les limites 0 et co, en
P P1
deux parties, lune de 0 P- (ou done toujours ry est plus petit que p) et l'autre de a ^,
~. ~r
oi au contraire ry reste toujours plus grand que p. Ainsi l'on a:
[ t Sin. px dx e-Ydy - (r q e-(dy
A.rctg.r -- -- re | -- ( —e-P -e-rg) (eP+ - eP} - e - <r) (a),=
Jq92 +_2 4q Y 4q J Y
o 'e 00 _~
& e(rq-ly -e-(q^l'y e I wY dy I dy dy
= - -----— e- dy --- — e —PJ e('q'l) +- — ePH e-rq +l)
4q J y 4q y 4q J y
0:p P.
-- e — e- i. - p- ePq Ei. --, (T. 431 N. 4), [2 10]
ot l'on a substitue lintegrale du N'. 5. 11 semble evident que cette valour devient discontinue pour
Ie cas de rq == 1; nieanlmoins nous reussirons a en trouver 1'expression finie par une autre reduction.
Or, reprenons la discussion precedente ' la la formule (a), qui ne se ressent pas encore de cette valeur
particuliere r = -; et nous aurons:
9
[210] Car au moyen de la substitation i Lx =, o0i a:
j -eb =d p -ed = Ei.(~ ab)............ (1211)
jEx. y
a: ab
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