Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFIN1ES. III. jMde. 18. N'. 12, 15.

J b -, f ( Cos. 2 qyd. e-y2x'() dx.(XIX)
a 0 a
Prenons successivement f(x) xe-P2x et f(x) = e-2, ou' tojours a = 0, et b =,
nous aurons:
ezd2/x =V __- f Cos. 2qydy e- (2+p2)^ xd, = I (C dy) (suivant Meth.
0 0 0 0
2 1 + pq 1 + 2pq
3, N~. 7), = - e- 2 --- e —2',........... (1208)
V/ n 4p3 2p"
a l'aide de Meth. 32, N'. 2;
e'-~ pg = 2 Cos. ' y+X 2 (' C2os. 2 ydy 1'
^. P^-^ -|^2qydy|e-'-IP -7' ---- __e —2 q//
3\ Pj +Y"1 7r 2p p
o 0 0
(T. 140, N'. 9), [206], ou pour la premiere reduction on a employe Meth. 1, N~. 9, pour la
seconde le N~. 8 precedent.
13. Maintenant supposons dans la formule (XIX)f(x) =e-2x Sin.p, etf (x) -= e-~'-x Cos p
successivement, elle nous fournit, quand on y prend encore a -- 0, b = oo
( 1,2X) A dx 2 r 2ff _2 _ p
~+|I-x/~-V5 os. e S-(y2+Ir2 i )x Sin.pc dx- = --- |Cos. 2 qy dy2 9- P-2 + —
1 [/X ] I/nj"~I J 7 (r2 + )2 +
O0 0 0
2 p fj Cos. 2qyy d2p # e-2q,
_^~~~ _/_~ ~~~~~~~~~~~~~~( Cos -. 9li A- + Sil. 2, t) =
/7r (r21 + y'2)2 +p2 Vw 2p V(r4 + p2)
0
/T7
e -2q (!, Cos. 22qi +-. Sin. 2q).-....... (1209)
r, +p2'.2 dx d-v 2 00 00 2 f00 2+y 2
e ( )C -- -- I Cos. qydy - r2)x Cos.pxdx 2 o. 2q dy
J " r^("V V1iJ * ] l ^/n /t/ (r2+.)2+p2
0 00 0
2 2 t +/2 2 71 -2q
= - f,-j-. y2) _ C7os. 2qy dy — = 2 _ — -- ( (' Cos. 2q t-, Sin. 2f ) =v/" (," +j)= + p~.=ig ' (T74 p2)
"o
e-2q),( (l CosC.2qt t 2 — ^ Si. 2q) / (1210)
Dans les premieres reductions ol a fait usage de Meth. 4, N~. 11, et dans les dernieres de Meth.
[206] Deduite autrement Meth. 17, N I. 1S. - Pour ip q on a les integrales T. 139, N~. 6,
T. 140, No. 6.
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