Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I[l. Mlde. 18. N'. 10, 11.
Sin. (p Arctg. r (p
f00 r ' q/] dx r(p+s- 1) 7f
I\ q/o T =,- 2>> o. (T. 433, N". 5 et 4). [o02].
(q +x2) S r(p) r (s) 2Sp spS)in. F s7
o
31. Supposez en second lieu dans les theoremes (XVII) et (XVIII) () = et
~ -)t'x
a?
f, (x) = --, a=0, b =, il vient:
' Cos. p A(ctg.
rCos. (pArctg~.-) dxr I -^,^~ ~Cos. xy dx
0 0
1O r
(p) ] e-qYyP- d -- -- e je-(q+s)Yyp-ldy ( -,.. (10')
0 0
(q2+X)i2 F~p)J 82 I_ e-e -- -f e-qYyyp-1 d y - [203]
(q' ) + x " -)p ) + p r)(p) J 2q+s)P
o 0 O
oil les premieres reductions out eu lieu suivant le N~. 8 et les dernieres d'apres Meth. 3, N0. 7. [204.].
7r~. 0_ Cos. (p Arctq. x) dx T(p+s-1) 7
[202] Pour q 1 elles deviennent: o —s(pt g.) — d r + - (1 >_ )
J O ( ()p (p)r() 2 Gos4..-'
I -— (1^ )() ^ '2>s> 0). (T. 433, N'- 2 et 3).
J ( +,2)(P Xs (p) F (s) 2 Sin. Is.Ts
0
f.a
[203] Lorsqu'on aurait pris ici f(x) -—, on aurait ' cette pe'iode de la discussion:
f ea Cos. xy dCx fc ixa Sin. xy dx
J -—........... t.2 — integrales qui sont necessairement infinies pour a > 1; done leur
52 -(- X2 2 2- X'
o 0
emploi par SCHUIO5ILCII ne saurait etre legitimn, et les integrales, (T. 433, N3. 8 et 9), ne valent que
pour b zero.
[204] )Dans la derniere integrale du N'. 10, prenez s - 1, vous trouvez:
Sin. ~p Arctg. -
s(q. + x j - - 2I.'... i....(12.04)
0
resultat que donnerait la formule (1203) pour s 70, supposition d'ailleurs non exempte d'objection.
Pa ge 4119. 57