Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Md8. i 8. N. 9, 10. TlEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Sin. rx d, C OS. rxdx -1
JSin.adx 1 i. ()x E - 1 {eqE Ei.( qr) +e-q- Ei.(qr)}.
2 -- X = e —?' Ei. (gr)-e~Ei. 2( —r)} - _x2)
0 0
(T. 205, N~. 10, 11). [201].
10. I1 resulte da rapprochement des deux inttegrales identiques du N'. 2 et 3, oil des fonctions a argument imaginaire se trouvent remplacees par des fonctions reelles, que de la meme
maniere les theoremes (XV) et (XVI) peuvent s'ecrire comme suit:
/b08( 9f d -, d-[ q P1 d Cos. xJ./ () dx,... (XVi)
af O n) _(p)
CoSin. p Arctg. 1 b
j~n. (q' ~ T(p)j
-(q2 + X2)1 f (x) dx= -7 - -yyP- dy f Si.. C f, ()dx... (XV1II)
a 0 a
Sous cette forme les theoremes se pretent a mainte application.
Soit en premier lieu f(x) = z-, a = 0, b = co, alors:
Cos. IpArctg. dx 1 iCs CCos.x ydx I f d fCoCs. z dz
I _ -— V --- -- ^ -e-yyP-v d -- g/ ps-2J -
j (q12+ 2)P xs r(p) s r(p) J Z
S0 0 00
Sf i (P q) dx Z 1 r IISin r xyd 1 rSin.zdz
J (q2 + r2)P(p)j J - (p) J js
(P) x r(p) z
0 0 0 0 0
ou 1'on a fait usage de la substitution xy -- z, ce qui donne ici ydx = dz, puisque y est traite comme
constant dans l'integration par rapport a x. Les integrales doubles se trouvent a present etre telles,
que les variables y sont separees, c'est-a-dire que dans l'integrale par rapport '1 y il n'y pas de z
et que dans celle par rapport a z il n'entre pas de y; done l'integration par rapport ' z donnera
un resultat qui sera constant pour Pintegration par rapport i y: en un mot les integrales doubles
ne sont ici que les produits de deux integrales definies simples. Or, la premiere de ces integrales a ete e-valuee Meth. 3, N'. 7, et les suivantes ont ete trouve'es precedemment au N'. 6. II1 en
Cos. p Arctg. - d _
resulte par consequent: f (pr- r (P -S) __ _s --- 1,>J \ j (q2 +Z2)p x, r(p)r(s) 2qP+s-lC Cos.}s7
[201] Elle a ete deduite autrement Meth. 42, N~. 2.
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