Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES 1NTEGRALES DEFINIES. III. Me. 18. NO. 9.

9. Mais on peut aussi changer les suppositions f(x) et f, (x) du N~. precedent dans les
formules (XV) et (XVI). Soient alors les intdgrales correspondantes 13 et IT, et combinons-les par
voie d'addition et de soustraction afin d'obtenir une seule integrale, plus facile a transformer;

nous obtiendrons:

I,: I = r() f e-?qYP- dy { Cos.,ry., (,x) =,Sin.x.y.f/()} =d
0 o

1 ( f~~ 1 V T V
_ -. q e-yt!Pb Idy e-sx Sin. (rx xy) dy = e-q' y;P — dy 2 A present
(p) (p) S +r~y)(0 o 0
nous pourrons separer de nouveau les deux integrales I3 et 14 pour acquerir:
- (q -i)-P+ (q + 'i)-P I, 1o f eT yP-.I e-q Y-l qy yP- ( —. -y)
2 S j - _e-sx Sin. rxdx 1 — y + ~ - d2 a ())2
3 -j 2r(p) 1J s2+(r+y) fl s2-{r-yY 5

U

U

U

{q xZi)-P3-{q+-~P I rf~~e-Y /-lr) f-^P^ (r — y) \ -qpr-y
-I = ( 7 ----- _-.-. ---. e-S Cos. rx -y j - d b
d ce ia cm a(puj N2 (r+ )2 2 s +(,_ ).
'0 0 '
Supposons dans ces intdgrales, comme an N'. precedent, s zero, il vient:

0
j2 2 r(p

r fe-2QyP -dy i e-q7 yP-,T 'd
) j ~r+y ' ---y *
o o

* a (o). (d)

(o~(q -- — p-(q + -,'i )-P t
J- (q - xi)-rP - (q + z)P: 1 fie-q - P-l dx f GOe-9Y 'P-ldl
i2i -C-d-(- pCos. rx dx J r -- y J
jgiC. ri IF(p) j + y r —y J
0 -

Dans ces deux systeles de formules (a) et (b), (c) et (d), soit encore p 1, et par consequent:
0r~0~d - ] e-QY (rI — + y) C I-(r-)
J e-sx Sin. rx- dy +. '.+. -....... (e)
qJ 2 +4-.2 Vq tjs-t (r +y)2 j 2+ (r ' j
0 0 0

f^ c e 1
[% [x dx 1
e s —s.Co. r. ---- = —
q 2 + 2 2
0

'-00 e- w(r+? ) e-qy (-y l(
f " 11.'^ A d 2 ' —A2 dyl I...'......... )
2 O + ('+&/-( — +(?/)'2 (
0O

J' SiV. rx d 1 e-q.d cf e ' -Yd
j q' + 2 2q ij r + y J r - 2
17 - I~~~~~~j~-q~d~......... (g)

(: - {,+/ f,.-,/;........ ()...
lx Cos. rxd 1 {' eq. dtq/ / e-qY d!y
q1 1 ~ 2I r+y/ J j Y
0
o o o
relations, dont on fera usage dans la suite. Mais les integrales au second membre des formules
(g) et (h) ont deja e'te evaluees AMeth. 7, N~. 12. On a done:
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WIS- EN NA'TUIP. EI. VERDH. ADER KONDIN. ADEE. DEEL VIII.