Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES WIEVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mld. 18. N. 8.

Xic7-'7)-P+(?+ x8i)-P s \ e fe- yP-I dy pe-qyyp-I dy
f j - ----- - 1 — e-sx Cos. ~d'x f Y p- ~ f'e(yP-) - ()
i;- (q i) + xi)P S r e- P-] dy '.YP-1)A
9e iSin. rx d.V z = - _ _b*
] tj2 +(r(p)( J s2 +~(, —0)2 J ^ +s- y+rJ 2
0 0
0 0 0
relations, qui ne menent pas au but d'une evaluation de I, et de I, puisque les integrales au second
membre ne sont pas generalement exprimables en quantites finies. 11 en est autrement, lorsqu'on
y suppose s zero, ce qui y est permis, puisque les integrales I et 1I ne deviennent pas infinies
pour cette valeur de s. Or, dans ce cas les seconde intges s'evanouissent d'apres le theoreme
1 de Meth. 16, N~. 4, tandis que, suivant le theoreme correspondant III, les premieres integrales
auront une valeur diffrrente de zero, puisque r est moindre que la lirnite superieure co de l'integration: pour la trouver ii faut remplacer y par r dans la fouction F (e-qY!pP-1). On trouve done
((q-xi) —IP + (q+ i-p f )(gq —xi)-p - (q+xi)-P
2 Cos. rL C1 -P -- - qr rpS,in+. rxdx =
2J P r(p) i
0 ()
-= 92r e —qrp' —'. (T. 213, N'. 12, 11). Pour p I ces formules donnent de nouveau les
integrales connues (T. 205, N~. 5, 6). [199]. Pour p - a prenons q lunite, et supposons
x -= - — ),d'o q3 'i == {( + l): i(y —1)} 2 - tandis qu'on volt
de suite que cette substitution ne donne lieu a aucun maximum ou minimum de y, et que par consequent elle est permise. Comme elle donne y =: xt ~ / (x' + 1), on a deux systemes de limites
pour y: + I et + ao ou - 1 et 0, correspondant aux limites 0 et oo doe t. Le premier systenme
nous fournit apres quelques reductions, lorsqu'on aura pris, comme partout apres, 2r au lieu de r:
J '2l --- S t 'dx
e { \ 3)i(, — )}{+l)+i —)J} C s. 1/(x+
r( a)21a+1 J 2
(T. 235, N'. 14). Le second systeme aux limites -- et 0 au contraire nous donne apres ]a
substitution de y — z et quelques reductions:
+jij _,' ej - a + X)_Z -,r e-'2r
f' {(-+ )+i(l —:}-a+{l+ (1l) — i)}- C 1\) / \ -1 e 2r
0 1 9- ~A~s2 - — 'd)o.. -..-4,..- 2..a.,
[1991 Aussi ddduites MaEth. 5, N", 8, ci-devant N8. 4, MAth. 24, N~. 4, Meth. 25, N'. 2, Meth. 42,
N*. 2, Meth. 43, N'. 14, Meth. 38, N.T 3.
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