Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. M". 18. N~. 7, 8. THIORIE, PROPRIkETES, FORMIULES DE TRANSFORMATION,
7. Pour f(x) F= (x) == -'rx, - oi,a a- = o a par le theoreme XIV:
~~1 ~+x^2
— y,-1 dy — -- = -y-rxi) dx e - f e -Y y~ dy erxi =
-o 0 -- O 0 -o
= ( — p) y YpP —) (q+rp.e —r, [197 —. (1191). (pourq -1:T. 30, N. 7).
r(p) r (p) (q-+r)? (q + r)P
o
8. Pour la deuxieme application de CAUCHY [198], il faut se servir des deux integrales,
(9 -_ xi)-p 4+ (q 4+ xi)-P 1 co
trouvees au N~. 2, et supposer F (x) = + - +) -- ( e-qY Cos. xy yP-f dy,
0
o() i)-p -( + xi)-p I f*o
ou F (x) = -— ) -- -1-+-~ - J- = e-qY Sin. xy. yP-1 d/, de sorte que la methode
o
0
nous donle:
a0 a
et p,(x) - -- (, -- + d e-)f yp-( l Sdin.'y.f, (x) dx.. (XVI)
Jt ^ i }') T{P() (p)
a o a
Soit a present a 0, =, f(x) = e-sx Cos. rx et f/ () == e-s Siln. rx et nommons les integrales
correspondantes I, et 1. JLeur combinaison par voie d'additio et de soustraction donnera lieu l'Fequation unique, plus facile 'a trailer: 1 ~ IL 2] - - j ee- uP1 cly j Cos. sy. f(x) ~L Sin. y.f l (.r)} dx
'Jo o
e-yIP-Id, e- SX Cos. (xy:?. rx) clx e-qy di — Id — —. suivallt
r (p,).... *yfe r (p) d + (:: 2r)
o o o
Meth. 4, N'. 11. Maintenant separons de nouveau les integrales I et 12, nous aurons:
ff. f' el)x + e-px
[197] Car substituons dans l'integrale dci N~. 4 pi pour p, alors: -- e —Pq? =1 -. J - dx
" el'x (-x e-px-Px
oo
tcoeP, x ( e-1r dx
=: l.-_.___... - l 2 ---2 Prenons (dans la derniere des int6grales partielles x __- /, et it vient,
fT ey ai (T 1 dXN.
apres y avois mis - pi au lieu de p:' - - x' N ).
(T 10) +
[198] Voyez CAUCHY, Journal de l'Ecole Polytechnique, Cal. 27, p. 147, Partie I, ~ 3, p. 175-185.
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