Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 18. N~. 6. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

6. Pour f(x) = Cos.qx, F (a) = v, a = 0, 5 = lo, le theorerne XIV fournit les equations:
JXcos.qxs I dx1 y 7 P 1 -J - - rCo( — I y1 7P — dy e-yxCos.qxdx —, p-1 du- Y - 1 1
XP (rp)J q2 +2 2Cos.2pTr.r(p)'
o o o0 0
(T. 201, N~. 6).
JrSin qxdx 1 fr f - 1 ___ a nqPin. - I yp-' dx e-Yx Sin.p dx P -
--, -,I V.> >o;
F p j J= rS(P. q2 +ty2 2Sin..p7r.r(p)
o o o 0
(T. 200, N~. 7).
Dans les reductions premieres on a employe les integrales de Meth. 4, N~. 11, et dans
les secondes la (201) de Meth. 1, N~. 29; c'est la derniere, qui a introduit les restrictions
quant a la valeur de p. Lorsque dans ces integrales on suppose p 1-p, on trouve, par 'intermediaire de lequation (B) Meth. 4, N. 6:
Cos. pF S- ISi. d in..- p_ n
P-1 Cos.qxdx = P' r (p), TP-l Sin. qx dx= Fr(p), (T. 193, N0. 15, 14),.9 Qo
o o
formulets, qui do=nnnt encor pour p = (q:Cos. q)d x, S. q(qx)e = - 2/-. (T. 224, N. 4, 9).
2 Vx 2q f Vx 2q
o o
Substituez-y: ^y, il vient: fCos. (qx2) dx -n.(q.) d 2x ------ (T. 96, N0. 10, 9).
0 0
Prene.z-y encore x -- y, la somme des deux integrales analogues fournit:
fCos.(qx2)d== V Sin-. (qx) dx. (T. 100, N0. 4, 3).
2 q
— CO — cO
P
Lorsque maintenant on suppose x =y ~ -, les limites de y resteront -- et c, t 1'on obtient:
q
I COS. q p +- d (11 75), = /- = + Sin. qx2 ~ 2px + -) dx.. (1176)
-00 -00
Retournons de nouveau aux limites 0 et c, en divisaut la distance des limites en deux parties,
l'une de 0 a ce, l'autre de - o a 0, et en substituant dans la derniere integrale pour les
deux cas x - y: alors les deux integrales partielles deviennent identiquement egales, puisque
le signle ~ ne se trouve plus dans la valeur des integrates (1175) et (1176). Done:
/co / r>2 \ 1 7 (o / P2)
Cos. qx:: 2 px + -) dx,. (1177), =Sin. x 2 = Sidx. d. (1178)
o o
Separons les signes doubles et prenous la somme et la difference des integrales analogues
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