Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Mde. 18. N~. 2-4. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

^ (q i}P+(q —rri)- P +(q+ (q-ri)-P-(q+ri) —P
j e-f xCosrix.xP-Id x-, — ) r(p), e' Sin.rx.xP-1 dx7= --- (p),
o o
(T. 386,.N. 18 et 14), (p<l ); valours qui ne sont imaginaires qu'en apparence, et, que nous
trouverons a l1instant sous une autre forme.
3. Pour F1 (x) -- q +x et f/() x '-l e-sx, a = 0, b = la formule XIV fournit:, y — P- l dy | r-1 6-I -rx) -- I eI (q + )P r- '(p)J r(p)J I J]
0 0 0 0
~1 r~" r~(r) M (r) D e-QyP- dy
== -- _f e-yyP d ty ',(suivant Meth. 3, N'. 7), N. 7 ) (e -yY Cettederiiewre
r(p) '3s + r (p)j (s + y)
o o
integrale est de la mene forme que l'integrale primitive, et de ce cbte-la elle ne nous apprend
rien: mais en revanche elle fournit une propriete bien curieuse de cette integrale quant au changement des lettres r et p, q et s.
Soit encore F, (x) = et f(x) - e-q.rSin.zrx ou f(x) e-q Cos. rx successivement, alors
il vient, quand on prend a 0, b - c6:
e e-qx Sin. rx' dx ] 1 r
j___ -_ _r _j yp-1 dy e-(q+y)x Smi. rx 2 dxy - -— p --- =o 0 0 0
= r(,- - ^Sin. 'j(1-p, Arctg-............... (1172)
__-d 1 f(q2 + 2)i(P-i) (
r (p) Sin.p 2 9)
l perCos rductions o e lieu t. 4, N 1, et ls secoes suivat th 27,.
Ie laos encore p par 1-Ip, l dy It e —(qy)x Oosin. r- Px- dx (prct.- )
j O ^(P)J j (P) O(9+yy
(qJ( + )1(p --- ) r{
^ ^ rj — r (p),. Cos. (I p) A<ctg.;...... (1173)
00
templagons encore p par i-p, il vient: e-qx Sin. rx. xp-Idx =(q. - Sin. pArctg.
J e-qxCos. r-.P-1 =dx I< (p), Cos. (pAreg.\), (T. 386, N0. 12 et 13), [193] lorsqu'on
-0
o.a
a egard a la formule (B) Meth. 4, N~. 6: et voila les expressions, annonces au N -. 2.
4. Soit dans le theoreme XIV, p 1=,f(.).- Cos.px, F1 (V) = q2 +? x I, a 0, 6 cc
[193] Voyez en outre AMeth. 3, N'. 7, Meth. 26, N". 2, et M6et. 33, N0. 5.
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