Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MIETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Md. 18. N0. 2.
realiser pour l'emploi utile de cette methode, mais on verra aussi dans la suite les resultats
heureux, auxquels elle donne lieu: en effet, c'est une des methodes qu'on pourra souvent
appliquer avec le plus de succes: son sphere d'action s'elargira d'autant plus qu'on connaltra plus
d'evaluations d'integrales d6finies, exprjmees sous une forme finie et simple.
2. Passons maintenant aux applications de CAUCHY, que nOUS exposerons pourtant d'une
maniere un peu diffierelte. Soit en premier lieu [189] F1 (v ) =- et, suivant Me'th. 3, N0. 7,
0"-yF(5)x\ don~f J" f(a) dx I
{F{x)) -=-r_ p yp- e-YF,(x) dly, donc yP (x f =,r p e -Yy/ (x)e-F,(x) dx, (XIV)
{P1 (x;} P P I {F v(x} P J}P)
0 a 0 a
relation, basee sur la continuite de la fonction yp-' e-YFr(x)f(x) pour toute valeur positive (de
y et toute valeur de x entre les limites a et b.
Pour F, (x) x, et f( ) = e-( q elle donne:
b e —qx b dx 1 P
p p () - y e- d - {e-(q-+v)a -e-( 4-y)b} -
r (P) r (p) q + y
a 0 a 0.
En outre supposons a 0, b - o, afin d'obtenir une integrale connle; des-lors:
fQe-qxd 1 f/0 yP-1 dy 1
J, r,(p). - ' rP
Prenons 1 -p au lieu de p, et il vient: e-qx P-l d = - r (p), p<. (T. 113, N. 5). [191].
0
Comme la formule employee vaut encore pour un q imaginaire, celle que l'on vient de trouver a la meme
propriete; remplagons done q par q ~ ri, alors on a: i e-(~ri)z P x dr (9 fi~ri)-P r (), <1,
0
(T. 113, N~. 17). [192]. Separons encore les parties reelles et les parties imaginaires et il vient:
[189] Voyez CAUCHY, Journal de 1'Ecole Polyt., Cab. 27, p. 117. Partie I, ~ 2. P. 152-175.
[190] Par la substitution de — x =: y, elle donne:
1 ltlq-' dy
f\ -l) P- ) ( < )............. (1171)
[191] Deja deduite Meth. 3, N~. 7.
[192] Integrale que l'on trouvera deduite d'ne lautre maniere Meth. 24, N. 6.
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