Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. Mde. 18. N'. 1. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

iintDegrales de cette espece," [188] en traite au long. Apres avoir donne une exposition de la
methode, nous allons le suivre dans les diverses applications qu'il en fait: nous y ajouterons
des exemples nouveaux, nmais il faut observer la circonstance remarquable, qu'ils entrent presque tons
dans lc cadre trace par CAUcHY. Les considerations suivantes servent de base a cette methode.
Lorsque dans quelque integrale definie:
ff(x). (x ) d,................... (a)
p
il est possible de decomposer la fonction ' integrer en deux facteurs, de telle sorte que l'un des
facteurs F (x) p. e. constitue la valeur de quelque inte'grale definie connue, c'est-a-dire, que lon ait:
(x)= f (y, ) dy,................... (b)
P
oiU dans la fonction (i l'argument x doit necessairement entrer comme constante, - on peut ecrire
l'equation identique:
J f(x. (,)x ( x)dtx, (y/, x)d............... (c)
a. a p
Maintenant supposons que l'integrale double soit de telle nature, que la fonction f(,x). p (y,?) ne
devienne discontinue pour aucune valeur de x et de y, situee entre les litnites respectives a et b,
p et q: des-lors il est permis, selon la Partie Premiere N0. 44, de changer Fordre des integrations; par consequent:
f f(x). () dT= dy ( y, ). f(x) d-.............. (d)
a p a
Ensuite il est necessaire.pour le succes de notre methode, que l'on connaisse la valeur de la
derniere integrale par rapport a x. Soit done:
f (y,,X).f(x)d. = (a,b,y),. (e), et par suite f f(x). F(x)d cx = (a,b,y)d. (f)
a, a p
Or, il se peut en premier lieu que la derniere integrale par rapport a y soit connue, et dans ce
cas on a evalue la premiere primitive; mais il se pent aussi, que l'on ne connaisse pas la valeur
de cette deuxieme integrale par rapport a y: des-lors I'equation (f) ne sera qu'une relation entre
deux integrales definies, mais dans ce cas meme elle peut tre d'un grand interet et servir aupres
de quelque autre reduction d'integrales de'finies. - On voit qu'il y a beaucoup de conditions a
[188] Cc M6moire, presente l'Acadenmie - des Sciences le 3 Janvier 1815, n'a ete imprilme qu'en
1841 dans le 2Sme Cahier de Journal de l'Ecole Polytechnilque, p. 147-248, oit les cinquante premieres pages sont consacrees a l'etude de la methode en question.
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