Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. ide. 17. N. 255.
25. Suivent quelques applications de la formule 291, Partie II. [183].
Soit en premier lieu,p (x) -= x et x (Y) =, alors: ()+ — = 1 + ly,= o y; de
de sorte que suivant la condition ()) f doit etre fonction de.zy, et par suite:
y J x
J{f(by) -f (ay)} f d- / ([(q) -f(p)}.......... (XIIa)
p ca
Pourp = 0, q =C,of(xy) == e-x"y'r on a f/(q) = e-~ =- O,f(xp) = e —= I, et par consequent:
d00 / rr bd r- f^ f^bdx b a
|.-{br ry -e-a ' 1 )=-. -=-1 -= -, (1159), {pour r=l (T.127,N~.4)}. [184.
y IVs a b
O a a
Pour p 0, q= of,f(xy)= Arctg. ((xy)), on a f/(q) = Arctg. ((+ o )) =- (+ - f) x,f(Q) =
Arctg. ((q)) r7, done:
{Arctg.((by)) Arctg.((ay))} f= -} {(2 ir 1 -.. (1160)
J y jx -x 2 a
o a a
Pour p = 0, q = o,f(Ay) =Arctg. ((q+xy)), on a f(xq) = Arctg. ((+ z )) -- (r+).,f (xp) =
=-Arctg. ((q)), done:
f -{Arctg.((q+ by)) -Arctg.((q +ay))} = I -{(r+i) -Arctg ((q))} (=i —Artg. q)l =
{)Y~~. CG2~~ a
- Arcot. q-................. (1161)
a
Pour p = 0, = c',f(xy) = Arctg. ((l[ay])), on a f (a) =- Arctg.((c )) = (+-i) -T, (wp)
=Arctg. ((- oo )) = (r-i) 7r, done:
-L {Arctg. ((l[by]))-ATCtq. ((l'ay]))} d [( + 1^ ) - r- ] -T..... (116 2
O a x
Lorsqu'on a f (xy) =- Arctg. ((r + sl[ay])), les f (xq) et f (xp) ne changent pas: par cons6quent
de meroe:
Cdy b
J d {Arctg. ((r + sl [byj))- Arcty. ((r + sl [ay]))} =....... (1163)
j y a
Pour p = 0, (q cc,f (y) = Arctg. ((exY)), on a f (xq) A= rctg. ((e )) A= A cg. (xc ) = (r+ i7) r,
Arctg. ((e~)) - Arctg. ((1))= (r + ) + ', donc:
[183] Voir l'addition A a la fin de cet ouvrage.
[1841 Comme on trouve aussi Meth. 9, N~. 22, Meth. 10, N. 14 et IMeth. 18, Ng. 5.
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