Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. M. 17. N~. 22, 23.
IC / 2^, \ x,2a~dx 2Ba+l a+l (a-n)2n/-1 ( _ dx
1;, _ --- -----— _ =_ --- _^~..-. ( — 1 i n f — -- 1 | (Y ) -— ( —22n+ I
'-l){ 9 2L{ -2p)2( r, +X4} 2(-1)ao 120-lll j r + 2 /(n+l-( (l1p2x2)
o 0,r
2a+ I (a1+ )2n/ 2.dy
/4 —1 a( (j; i22n+1c (aSin. y) Si+(XI)
2( — )a o 12n+1/1 Si. yy -p2Sin2) * *
fa /2x\ 2a~ a+~1 n(a4-+)2n2 I "a1) dx 1-p2x
II --— e-xa~-idV{i+2(1- I I z 2 J. — 22)X2 —+4 (-)n- 22n+1
j ( \l9-vl2g,,2/ 2 (-l)a 1 2n -2+11 I x3 1- 2
0~~~o~~~~~~~~~~~ 0
'7T
2a+- 1 a+- (a 2 + n)2n 2 dy g/(1 —,i.2).(XII)
=-= 22ng1 (p (X111 — ).+, Sir~.y)
( —)a 0 (- 1n —+111 2l (i Sin.y 2n+a y
ou les dernieres int6grales peuvent s'exprimer par des fonctions elliptiques. Pour en avoir un cas
special, prenons dans (XII) q (x) =-x, dans (XIII) cp (x)= x5 et de pnls faisons a =; alors,
suivant Mth N.. 1, on aura les integrales:
Fro WQZG-7 d~x 3 3- 4p2
j1 (Y_-}- '( E7{T+~r --- E2 2 ^2 B4 — = sp' (p) - F'(p)s
J(I+.2)3V{/t1 + 2(1,,>p2)x2+x4} - 2 +8()I 81 2
(I _ p 2p2+,l- l- - p 2
f (l d{1~/{I+-(1 -p2) +, } 2^p:' + I — P F'(p). (T, 28, N0. g, 23).
23. Dans la formule II, 152 mettons f(x2) = e-q2, alors d'apres Meth. 3, N~. 7:
Ix-a7(ani2l- 2 a~a (aa+n)2n7/ —1
Iel- v,2adxe 25 ' --- I '-. (. N0. 8).
o a2n/1 e x ad =.o n/1/ 2n+1 (2q) (. 1
o o
de
La supposition f(x.) e-x dans les formules II, 153, 154 donne d-f(x() = ( —1)e-x, et suida-n.fj x Vnxe-(x+2j.1pq dv
vant Mth. 4, N'. 7: f (- l)- x+/px d _. =
J {d.(x+ 2g/pq)} -n / n x/
o 0,e*-x dx
= ( i)a~- e-2 i/q j ( I)( ) e-21',P/qr; done, lorsque dans la derniere equation
II, 154 on ecrit a -- 1 pour a:
J ~x+ '+d \qj p o /"/t (2V/pq)"
|x )cd ed-2x/ p/ -.- -- - ---- ' (T. 1 39, N. s.
e X (-) e- (a' l/, - +- 2 n1-'2 1 I
-g V- P o, 212,pq)
0
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