Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I. 5. N0. 35-57.
( dQ f (Qx)d dx...... (62)
p a a p
A l'egard de ces formules deduites de la formule (51), il faut considerer necessairement les corrections, qui d6pendent de la formule (52), et qui deviennent ici respectivement:
rPl~~~~ d d (d d. f(2o,x
d dc=Lim. d (d61)
i'~~r= ~1.deJ' d i~i-d 2
e do1= Lim. - d Q jd (. -./(..)......... (62*)
[ d 2
J dQ -Lim.-dQ dQ2 dx;.......... (62*)
P P p --
mooins qu'elles ne s'annullent, ce qui est la preuve que la continuite n'est pas interrompue.
36. Integrons la formule (62) encore une fois par rapport a q entre le meme systemc de
limites p et q, nous obtiendrons:
q(2) b q b rq
j d2 f(,)d- J dJ x) dx f(e, x) dQ.
p a p a p
fq
Mais lorsque dans la formule (62) on remplace f(e,) par f/(, ) d, le premier membre en
p
devient identique avec le dernier membre de l'equation pr6cedente, et l'on a:
rg(2) 2 b rb q (2) 2
J d2 J f(?x)dx - J dx f (2x) dj2......... (63)
p a a p
La demonstration de l'equation gen6rale analogue:
q{(n) rb rb f q(n)
( dn f ( d, x) dx d f (e x) den, (64)
p a a p
se fait, tout comme l'e'gard de la formule correspondante inverse (55), par l'induction de BERNOUILLI.
37. Passons maintenant au cas que les limites aussi dependent de la constante o, et integrons
a cet effet la formule (47), il vient, puisque la differentiation au premier membre est d"truite par
l'integration:
fR (, x.) dxr J * Q', _) dx + F(,R)- d- f (,,r)d - d.... (65c )
r 'r 0 0
Mais dans les deux dernieres int6grales 3F(e,y) depend de la variable independante Q, et encore
de y, une fonction de Q; on a done:
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