Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11I. 2Mde 17. N". '21, 22. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

doih encore pour a nul:
(1 - 2p Cos. + 2I) b (1- 1 pC2os. +p2)-d(t,.....p (XI)
o 0
Toutes ces formules donnent des relations bien interessantes dont on fera usage dans la Methode
22. [181]. Pour le moment contentons-nous de prendre l'unite pour b et 2xz -y dans la forf Sin.2axdx laP2 1- p2 rx Cos.axdx la/2 n
mule (VII), d'ou:/ <Z^ ^^ ^ =^ l+2p~o.j^
mue(VII),'oha:j (l_2p Cos. J+p2)a lall (_2p)aJ 1 +2p Cos. x+p2 laj ' (pj2 < 1),
0 0
lai2,- l )a (p2 > 1), (T. 85, N'. 2.4 et 25), suivant Me'th. 5, N0. 6.
1.a) (:zp)a'
22. Applications de la formule II, 151. Soit f(x) = e l/(1 — 2), d'oa f --
~+5;
p -+2 (1_ - X)2
=e 2 V 2/( - x)' et par consequent:
_ ~9PadU (1+A - +1 r [
J00 /(1 x2)< 2a + 1 (+1 (a + V)2nl^/- ) _
1 + 2 ( +a 2 I-) l 2 1 ] 2+2
o 0
2ac + 1 a+l (a + n)2n/-l d271 e-P
-22-4+[1.... (1 15)
Supposez ensuite f(w) == (x( 2) et f(x),= - / (1 p2 w1), d'otI respectivement
V (1 )-p" o )
f i \ I2^ e \ ____ 2 __ 2 +-., [s]_.....(
v 1 + 2 + / 2 '1- I+-(-2p2)s2 + 4} 1 1
Lorsque au second membre de 1'equation II, 151 on substitue x - Sin.cp, on obtient:
[181] Sur ces formules, dont se sont occupes plusieurs mathlematiciens celebres, on pourra consulter
entre autres: EULER, Principia Calculi Integralis, T. 4. Suppl. 4, N0. 2, p. 194, ibid. NO. 3, p. 217 et
ibid. N~. 4, p. 242. - LEGENDEE, Exercices de Calcul integral, Partie III, ~ 12, p. 372. - POIssoN,
Journal de l'Ecole Polytechnique, Cah. 19, p. 404. - BINET, Journal de l'Ecole Polyt., Cah. 27, p. 123. —
Le mnme, Journal de Liouville, T. 5, p. 373. - JACOBI, Journal von Crelle, Bd. 15, S. 1. — IOI)VILLE,
Journal de Liouville, T. 6, p. 69. - GRUNERT, Grunert's Archiv, Bd. 4, S. L04.
[182] Puisque la substitution x s --- donne:
f ly dx f(TC0{ dc1' f. (- p e-.
j e J - -*= e-PvYdy = ---2. e —Py'h'11- -2.. d.. (1156)
Pae0 13 1
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