Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. M. 17. N'. 21.

rf GCos. ax dx fa Sin. x dx (IV Sin2a x dx
j l_-2p Cos.x _p 2.) (-2p Cos. p2)a+2 OU P (1 2Sin) 80],. (
0 0 0
o o o
par l'intermediaire de l'quation I, MAth. 7, N'. 30.
Soit encore f(Cos. ) - (1 -2p GCos. x. - p2l)-b, fonction plus genrale; par cons'quent:
da f (Cos.t)
daf( Cox ) = (p ) (-b)ao-/ (1 + 2p Cos. x+p2)-(a+b) = ( 2p)a ba/1 (1 + 2p Cos. x +p )-(a+b);
(d. Cos. X) a
supposons de plus dans les deux integrales =- -2y et nous aurons:
7Tf
[2 aCos. 2a x dx ba/1 '2 Sij 2 dx
~ — ~ -+- = --- (-~p)a j -- _ _ )
(l + 2pCos.2 + p2) 1l2 - J] (1 + 2 Cos. 2- + p2)a.
0 0
i-P Sin. 2x Sin. 2y
Par la substitution -- Tg. x Ty.y, d'o i- - -- -, 1+2p Cos. 2x+p2
I +P I+ J 1+-2p Cos. 2x+p2 1 —p
(1 -- p2)2 dx dy/ Tr
=pf s-.2yp2-_ --- —--- p -------- ----------- — ', les limites 0 et- 'tant communes x et y,
1 - 2p Cos. '2y +- p' 1 + -21 Cos. 2,X + p2 I - p2 2
elle devient:
f2 Ga Cos. 2a d _ ba/ - (2p)(^ S
J l(+2p Cos. 2xj+p2)p las (1p2)__ -I (1.-2p Cos. 2y+p2)-a(l -Sin..2 -y dy... (VII)
O 0
De plus dans la formule (VI) prenez p negatif et 1 - au lieu de b, alors:
Cos. 2ax d (b-1)ax- 9
f (i-^pCs.2.3.4p2)1 -b 1^a - ( — 2P)af (l-2p Cos. 2 +p2)b-a-l Si'.2a dx,. (VII1)
0o 0
et comme dans les foimules (VIT) et (VIII) les integrales au second membre sont egales, il s'ensuit:
r r77
2 Cos. 2as dx bd1 1 fa2
I-p(+2 -s. - C- -—.2a — - I1 (1-2p Cos. 2x+p2)- Cos. 2axdx.. (IX)
(1+2p Cos.2X+p2)b (b-1)a-l1 (1_p2)2b-iJ
0 0
Substituez dans cette derniere formule 2x = y, alors:
]' Cos. ax dx ba/l I
( - s 2p-Co. - -p' —)6 = bi(b —l-)t — (1 —__-,.6- '(1- 2p Cos. c + p2)6-'C Cos. axdx,. (X)
~~~~0 ~~~~~~~~~~~~~0
[180] Supposez-y a — 1, alors on a suivant Metlh. 3, N~. 11:
Cos. X dx 2
Jo --.,, - f^. - F' A p) -E (p }. (T. 86, N'. 5).
/(\- ~p2 oCs.. + p) p
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WIS- EN NATUURK. VERH. DEll KONI'KI. AKADEMIE. DEEL VII1.