Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

MI. M"e. 17. N~. 20, 21. TtlEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
ft I1
La formule II, 120 devient pour cette meme supposition def(x) = xq: (2p)qCos~.?.e(g+2a)r xd =
2 J/
/- COsir. ^.pq (Il-)a-I dx, d'ol par l'interale de MCoths. 4, I- x6
Co.~ qx.~e(QS~l..2a -d ~.(1153), =[ixq q+
ftoRS qx, e~(q+2a)i d = -t"*(1 15T)'- CCos.8x.e(q+2a)xi dlii- Cos. qx.e(q+2a)xizdx;
apres la division de la distance des limites, substituez dans la derniere int6grale x -y, alors
on obtient, ici au mooyen de C. P. 34:
f' 7r Cos. anr I a —/1
Cos.c 7. sin. {(q + 2 a)x} d = - r _....... (1154)
Dans le cas de a =1, on trouveraitparII, 12 1. 2ar Cos. x. Sin. {(q r2) x dx- =- j lx d-= 2 (q + 1),
o o
2 r
d'o i en ecrivant q-1 pour q:\ Cos.-l x.Sin. {(q + 1)x} x dx -. (T. 238, N0. 8).
o
Dans la formule II, 122 supposons f(x) = x'-1, et nous trouvons:
I p''- Cos.r-1 x. e(qr)x^i Sin.q-1 x dx== e2r i pr-1 xr1 (1 - x)q- dx, ou suivant Meth. 4, N0. 6:
JO o
Cos'.r-l. Sin.q-1 x. e(Qr)x d = eq (r). (T. 287, N~. 2). [178]. La separation des parties
IF r{(+r)
o
reelles et des parties imaginaires nous fournit les integrales: Cos.r-lx. Sin.-x. Cos. {(/ r) x} =
0o
-)(r)+ 2Cos. -T r0, Cos.r-I x. Sin. -1 x. Sin. {(q r) x} dx -= r Sin. q7. (T. 57
r (q+r) r (2+,)
o0
N~. 9, 10). [179].
21. Applications de la formule de transformation 11,125. Supposons-y f(Cos.)=-( — 2pCos.-x+-p2 )-',
da.f(Cos.x) 2a l1 2a+1
d'oCt -s)a =( 2p)a(__ )a! —(1-_ 2pCos. +pp2) =pa1lo/2(1-2pCos. -+p4) 2
(d. Cos.x)a
et par suite:
[178] Voycz encore Meth. 38, N0. 5.
[179] Integrales, que l'on obtient d'une autre imanierc Meth. 23, N0. 24 et Meth. 38, N0. 5.
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