Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. Md. 17. No. 18. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

* - — l~~~~ p (^I _DZ-Q)2 dp Z
Mettons f(x) = e dans la formule II, 107, et nous obtiendrons: - e x
2 V'
0 0
= e-2 Z = I/ 7r, (voir Meth. 4, N~. 7), d'ou: |e +) / = - e 2P I/ 7r. (T. 140,
2 J
o o
N0. 9). [176]. La mrme formule de transformation donne pour les suppositions f(x) =Sin. (
et f () = Cos. (
Si. (px ) — Q) dx i. ( 1
2.i/V 'q........( i34o)
Sil. (x / n pj 22d..(1140)
0 0
p. (px-q) dv 2 f
C Gos. Xt Q) 7- - Cos, (X2)dz - /.7T. [17i].... (1141)
J/x p 2P
o 0
1
[176] Voyez sur une autre deduction Meth. 18, N~. 12; en outre supposez-y x -, changez p et q alors:
q2x
dxe2p- =... (1139)
[177] Par la supposition de x =- et le changement de p et q, ces integrales deviennent:
[^ _9p)q2 dx 1 (1 oo2 dx
I Sin. dxP --- = 2t /2r,. (I142),, zCOS.1 d\ =- /27r.. (1143)
j { j /~G 2yq vI /X a 2
0 0O
Dans ces deux systemres d'integrales (1140), (1141) et (1142), (1143), multipliez la preniere par Cos. 2pq
et la seconde par Siz. 2pq, la sommie des produits fournira
I Sin. (pC$+(-) Q = (Cosp q +Sin. 2p T) -1...... (1144)
I 00 i 2 7dx 1
JOSi ( + 2 - = (Cos. 2p (q + Sin 2p q) - r/ n....... (1145)
x f x 2q
Multipliez au contraire la premiile integrale de chaque systenme par- Sin. 2p q, et la seconde par Cos. 2p q,
et prenez la somme des resultats, alors:
f ( I I
Cos. p2 x + 9 - dx == (Cos.2pq —Sin. 2pq) i/2..... (1146)
/I1q2\ d x(p2^+^) —^ ^(<72... (1147)
P Cos.(px+ — } d= 4 (Cos. pq-Sin 2pq) 7 I27r... 7)
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