Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II1. Mde. 17. N~. 17, 18.

a deja ete employee plus haut; done il vient:
JP (Sin._ E (pi I)d,) d
k/ (Sin.2 'v —Sin.2. a) (Sin.2 {3-Siu2 x)
ac

J P

E (p, x) dx
/ (Sin.2 - Sin.2 o) (Sin.2 ( - Sin.2.)

I
E' (p) -..F' {V (1 - Tang.2 CC. Cot.2 3)} +
(08. cc. Sin. (

i- l. ' 1 --.2
+p2i. F' V ( (l-S in.2, (g); et la resolution des equations (d) et (g) fournira:
Sin.a ( Sip.2 2/C
E (p,) dx P E p,A rtg. (T q.a. T. 3. Cot. x)) dx1134
I[ ____ v, (T. 375 "N~.lO), —j 16^- S i-~a-~(. 3n 7 5____)_._6),. (184) —
J i/(Sin.2x —Sin2)(in2 S (T N 16 /, J (Sin.2 —Sin-.2c-)(Sin.2 -Sin.2X)
a s

2 Cos.. i'(p).' Si/(
2 Cos. a. Sin. ( I; I

Tang.2 a Sin. 2o - tv
Tang.2^ J 2 Cos. acc

( Sin1. C)
( Sin.2 2 a).'

-( 72c — -2prl + I —
18. Dans la formule II, 103, prenons en premier lieuf(x) = e-X2, alorsp X e d
0
^30 -^,.001 _ 2_ 2 1
= e-x d.- = / r, (suivnt Meth. 4, N'. 7), donc: e-P2 '~2 dx — e-2Pql/n. (T. 37, N0. 3).
J z 1 2 2p
o o
Supposons ensuite f(x) Sin. et f(x)= Cos. x, et nous aurons par Meth. 18, N'. 6:

( Sin. pp22 2' - 2p q 2d - 1 'Sin. (X2) dx = /
0 } p2 4p0
0 0

27.... (1135)
2w. [175]. (11.36)

f Cos.
0

2 \ 1 0"0 1
p2 '- t2 n + - d - - Cos. (2)dx = -- /
U "Ix-2/ d 4
0

Sin. ~a o ]/
et par consequent:

dz
~~ -i n 2 )Sin.- ' j zi
1 - -- Si.2Z
\ Sill.2 2|

sin. a ( Si1 2.2, 13
Sin. o: Sin,. 22 I.

(P Sill. X. Cos x J Sid F'{ Siin.2\.1 13).1 8/(SVn [1S-n.(1-.2-Sin.2,) /[1-(l _Cot2ac.Cot.2:)Siln.2y Cos.a \ Sm.22Cck
ac

[175] Multipliez-les respectivement par Cos. 2pq et Sin. 2pq; la somme des produits donne:
f Sin.(p2x2 +-t, dx = Cos.2pq+Sin.2pq) -- 2w.
x2 4 p
0

(1137)

Multipliez les memes integrales encore par- Sin. 2pq et Cos. 2pq respectivement, et sommez les produits, alors:
COS. p +. 2 d = (Cos. 2pq-Si. 2 pq)-V/ 27r........ (1138)
Pour p == 1, q = - r, on trouve ces integrales (1135) a (1138) sols une forme plus simple (T. 98, N0. 1 a 4).
P)age 427.