Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. iMd. 17. N. 17. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

[P1 E(p, v)dx
It/ (Si2 X - Sin.2 f) (Sin.2 )' (d); au lieu dc (b) il est: E(p,i)+E(p, i)=
E' (p) + p2 Sin.rq.Sin. j, (e); done pour obtenir une equation analogue a (c) il faudrait qu'on
pusse exprimer Sin. (p. Sin., dans une fonction simple de p et de x, ce qui ne reussit pas. Simplifions done tout de suite par la supposition de q =, 1 —p2 - Cot.2a. Cot.21. Nous trouvons alors cornme auparavant: rp = x et Tang. ) == Tang. a. Tang.. Cot. x; done (e) devient: E (p, x) + E (p, l')
p2 Sin. x. Cos. x, E (p, x) dx
-E'(p) +- -- 2Si,et l'equation analogue a (c) est ici: [ E(p a)_ -
^"^/V(lj-^p2XSinj~2X) j J - / (Sin.2 -Sin2 a)(in. -Sin..2 ) +
V(&n2 - Efptp)d ____ - (1, _____dxdx_-+
/ (Sin., x - Sin.2 a) (Sin.2 -- Sin.2 x) p)' ) / (Sin.2 - Sin.2 a) (Sin.2 Si2 x)
a oa
+ p 2.2 jo- ~ ~~ - ~ ----. — - Or, la valeur (1e la dlerniere
j (Si2.2 x Sin.2 a) (Sin.2 - Sin.2 ) (/ (1 - p2 Sin).2 v)
Sin. f / 5.2 2
inte'grale est [i7C4]:, — ln - 2 cet la pr6cedente (voir Meth. 7, N'. 24)
Cos. a Sin.2 2 cr
[174] Car an moyen de la substitution Got.2 x = Cot.2 a. Cos.2y - Cot.-. Sin.2 y, - d'ou en posant
Sin. 3. Cos. a dx dy
q2 = 1- Tang.2 ao. Tang.2 P:
V/ (Stin.2 - Sin. 2 ) (Sin. 2 - Sin. x ) / (1 -q Sin. 2 y)
Sin. x. Cos. x Sinr. s.. Si. V. / (1 - q2 Sin.2y)
---- _, -, tandis qu'aux limites ac et p de Z
/(l-p2Sin.2x) /(l —q2Cos.2a. Sin.y) (l-2 Sin2 i. Sin.2 y)
~TX -: j3/iP Sin.. C. Cos. x, dx
correspondenlt les limites 0 et - dey,- on trouve 2) V. =i.
2 ' j t/{(sin.~-Si.na,)(sin.M ~-Sin$.2) / p -p- Sin.\,
/2 dy
- Tang.oc. 1 _. Dans cette derniere integrale substituez
/(l-q 22Cos. 2 a.Sin.2y) ( -lq: Sin.. Sin.2)
o
Sin. Sin.g. dy
maintenant Tang. y = -- Tang. z, dz,- avec les memes
Sin a Sin. a Cos.2 y +- Sin.2 a. Cosec.2 3 Sin.2 y
f2 ^ ^___du
limintes 0 et - de / et de z; il vient: 2 l —. =
2 ( Y ]/ (1 - q Cos. ac. Sin.2 y) (i -q2 Sir. 2 j. Sin.. y)
f ______________ ___ _______._____________
j / {l —(Cos.2 a - Sin.2 a. Cot.2 ) Si. 2} { 1 - (Sin. 2 1 - Tan9.2. COS.2 3 ) Si,.2 }
0e
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