Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINlES. II1. Mal. 17. N0. 17.
et a 1'aide de la formule de transformation citee: /- Si..) (. i. -- i2
J _/ (Si?.2 a S- l.2 c) (Sin.2 Si-n.2 x)
= I/ (Sin.2 Sin.2a(-Sin2 — Sin ' 2 (a); ot l'on a garde p et,p, fonctions de x. Mais
1/ (Sin.2 X- Sin. a) (Sin? ftn. Sin )
a, Tang. (. Cot. a\ q ( Z'ang. a. Cot. f)2q 1
leur definition donne l'equation Tang. q'. Tang. ang.. CGot. (ag. a. o. --
et par consequent [173]: F(p, ) + F (p,,) = F'(p), (b).; d'ou immeddiatement:
fP___ F (p, ip) dx F (p, t) dx
J / (Si2.2 X - Sin.2 C) (Sin.2 T - Siin2 x) J / (Sin.2 - Sin.2 a) (Sin.2 {1 - Sin.2 a)
ad a
-F=, (p). _ (p) 1-1 / (C)
1/(Sin.2 x -Sin.2 a) (Sin.2 3 - Sin.2 X) Cos. a. Si \/ Tg.2af
(d'apres Me'th. 7, N0. 24). Maintenant les equations (a) et (c), oiu il entre deux integrales inconnues, donnent par leur resolution:
(['3^ [ (Tangq. a. Tang.z (. Cot?.2q X d.c
A rctg. (t - 2) / 1 (1 _ Sin.2 x - Sin?.2 a) (Si.2 - Sin.) (1129)
a
F r J Cot.q a. Cot Tang.2q, xl dx30
cJ 1yp, Arctg j- j(1 -p2) J t(Sin.2- Sin.2a) (Sin.2. - Sin.2 ) ( 0)
~~a~~ ~Tang.
2=Cos a. SinF (p). F'{/ 1 — Tan2 ou la derniere integrale (1130) n'est autre que la
t2 Cos, ac. Sin. T1 1a
precedente (1129) pour un q negatif. Pour l-p2 = Cot.2a. ot.2C( et q = — et = + suc2
2 2
cessivement, la premiere donne:. -=F(p,x) dx _ _ F, — -- F' { /(l-_Cot.2a. Cot.2 j).F'{ V/ (1-Tg.2a.Cot.2Jf)},
-J /(Sin.2x —Sin. a) (Sin.2f-Sin.2x) 2Cos.a.Sin l
P ' {p, Arctg. (Tang. a. Tang. 3. Cot. )} dx
(T. 375, N'. 7), = f' (p =i —Cot.2a.Cot.2( t). (1131)
J (Sin.2 ai - Sin." a) (Sin. (3 - Sin. x)
On peut supposer aussi f(Tang.2 a. Cot.2 x) =E (p, ) et f (Cot.2 f. Tang.2 x) = E (p, '), ou
) et IpI sont les memes que ci-dessus; des-lors (a) devient ici: -/(Si n. -- Si(p,) (Sin. — Sin.
/ (Sin.2 X-Sin.2CC) (Sin.2 -Sin.2. x)
[173] Yoir VYERHULST, Traite de Fonctios Elliptiques, p. 40.
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