Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11I. Mde. 17. N~. 16, 17. TIHORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

2 1-p2 d2 dx
— 1_p-2 d'oi,'apresavoirdivisepar2: i(1 —p~ in.2) - =.)
/ lp2Sin~~xV1/-p$Sin.2 ) t-p2Sizn.2 X)
o o.
0
1 )(1_-p22) dx - 1 (1-p"). F(p),(T. 34.S, N'. 1), d'apres la definition. [1 71].
2 j ~ \'(1-~-p ~Sm~2) p2 Si.2 X)
1 lx, et i l 2vi2ex)
Supposons encore dans la meme formule f(x)=- et il vient:. 2
X j / (1 — p2 Sin.1. x)3
_ | _ -- = -- - & I d/(i-p2 Sbin.. x) =
J l-p2 1-pia.2 /(21-p2in. 2) l-p2p 12- 2 VSil- 2 X
O O
-- l P)fdx V(l-p2 Sin.' x) --- 2 (I (- 2Sin.2 x) dx / (1 -p2 Sin.2 V).
0 0
Or, l'integrale au premier membre sera evaluee Meth. 32, N'. 7, et la premiere integrale au
dernier membre est E' (p) par definition; par consequent on deduit de lXequation precedente:
2(1 - p2 Si2.2 ) d (1 — p2 Sin.2) = (1-p2). E(p) —[-(-p2) '(p) +
+ + 1 (1 - p2)} E'(p)] = ( -p2)E1 (p)- - R(l _P2)}E'(p). [.72].. (1126)
17. Applications de II, 99. Soit f(Tang.2 a. Cot.2 x) -= (p, t) (oi` F denote une fonction
I Tang_.. p 7 (Tang.. Cot. x)2q
elliptique de la premiere espece) et supposez-y 7Tang., =c -- (- 2-, pour un q
ICot.a\ q ('ot. g. x)2
quelconque. D)es-lors on a aussi: f (Cot.2 t. Tg7.2 ) = F (p, ), avec Tg. i [Co~ ~ (1 - 2)
[171] Deja deduite d'une autre maniere Meth. 10, N~. 9.
[172] La combinaison par voie de soustraction de celle-ci avec la precedente, en egard a l'identite
1 -p2 Sin.2x
/([ — p2 Sin.2, ) -=, P Sin2 j) nous fournit encore:
2f pSin2) V(12Sin.2xd =d {p2-2+ 1( p2)} F'(p)+-{ 2- /( 1-2) E'(p),.( 127)
~l(l-p2Sin. t1 [(1 —pSin'2x p:2 2P. (1
~l(l —psqin*x.p/(l__pa^i n^x) p~{2 ( ) 1-p2 I (1-p2)-( —{2))-l(l-p2)}E(p).(128)
Gos.2 Xdx.xp- 1 1
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