Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. Mde. 17. N0. 13, 14.

fo xCos. (q Tang.2 x). Tang. x dx (/ x2 Cos. qx dx
J p2 +x2 J (1 +22)(2 +g2V2)
o o
= 2 - — e —+ep + e —P ep e-P qePe:-Pe
q(eP + e-P)2 \ e — - \ 2 e e eJ.
2 Q-=. (1091)

xSCos. (q Tang.2 x). Cot. x dx
J p2 + x2

Tr ( qeP-eP )
- e ePte-P- e-q),.......
2q. (1092). l'aide des integrales de Meth. 9, N'. 14 [169].
De meme pour F (zX2)= -1, F, () = Sin. qx, la formule de transformation 11, 73 donne:

J x Sin. (q Tang.2 x) dx
/ p +p - x2
o

x Sin. qxdx ge.. (1095)
- (i - e W p- T e-q * * (1095)
(1 + o 72)~ + g, X2)
__f'~~~~~~~~

suivant Meth. 9, N. 14.
14. Prenons f(,) = X-2q dans le theoreme II, 74, nous aurons, en substituant ensuite v2P yE

o / xp 2
o.

dx \
Arctg. x -
IV.J XI ~x ).= i i+ g -
r / T r (q) / n3 r (q)
4p 22q r (q +-) 22q+2 p r (q + )'

r /1 ylq-l dx
4pj (l+y)2?
o...... (1096)

suivant Meth. 7, N~. 9.

Dans le cas special de q =1 nous trouvons:
J00 x2p dx rr
Arctg. x - - -........
(1 -- x2p)2 rtg 8p
0O ~ ~ (' S...... (1097)

Dans la formule II, 75 soit f(x) -- 1x et p -=, alors a l'aide de Meth. 27, N~. 7:

11 (1 + x
I;f/ +
]oV

dx n l1 1+x dx 1 r 7 ( —1)n
Arctg. x -- - I 212 - 2 --
1v + x2 2 '/ 1 +-2 16 4 o (2n fl)2
o. (1098)

Pour le groupe II, (76) a (84) soit f(rP-+ + -P) - = 2al -- pour la valeur l'unit de p:
[169] Quand on combine les dernieres formules par voie d'addition et de soustraction on obtiendra:
i' Cos. (q Cos.2 x) xd 1 ^ e----- w- -- - —...eP.-e-p,..... (1093)
j Sin. 2x p2 + 2 q (eP+e-P)2 e -.... e-
J Cos. (q Tcang2 x) dl2 7r ) e2P + e-2p -_e-e-7
Ig __ - - --— < ~~~- ^ — e e-tj-e-p t.... * ( 094)
J 1ang.2x p + x2 2=q \(eP - +e-P)2 (
Page 421.