Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MNT1TODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. IIIMde. 7. N. 11, 12.

I (1 + q2Tang.2 x) dx - 2 - eP-ePI
_ 2_ __ _2 Cos* e -- l'- eI
p2+2 _ 2. COS. p eP +- e-P P+e-P,'..... (1076)

01(l+ 92Cot.2x) dx 2 1 eP+e-P\
p2 +- x2 Cos. x p eP+ e \ eP- e-P

f(1 +q2 Tang.2 ) xcdx 2I
J p2 - x2 Sin. x ep —e —P
o

q ep - e-P
eP -e-P \
9 eP + e-P]... (1078)

1(1 + q2 Cot.2 ) xdx 2n eP + e-P\
p2 p-+ x2 Sin. x e -e-P eP- -P
| Cos. x $) =dx hZ { ) g h)
f /(1 q2Tang. 2 2x) 2 2 ' d
p2 + X2 p h2 2 ~ z({ + q)... (1079)

qr eP- + e-PP ePe-P- eP —e-P
p Tan. t eP-e-Pl l+q)..... (1080)
|. an + e f omes, p +x eP eP eP + Pi e
0
12. Dans les formules (54) et (55) de la deuxieme Partie mettons F(Sin.2 X) = Cos.2a x,

alors nous trouvons: 2a Arctg. x. Sin. xx = - - +g i '
x 2
oo0

C'os.2a x dx
1^2 Cos.2 x + g2 Sin. x'
par la substitution de

(2a+1) Arctg, P. Cos.2ax. Sin. dx,.

Io Cos0.2a+2 diX
_+ h h2 +Sin.2xz
0

Or, ]

Cos. x y, on trouve generalerent:
J( Cos.2CXdx 1f i* y2c dy 1 - 1I y2C+2ndy n o 3c+n/2 1
J q-Cos.2X 2 /y\2 l/(l-y2) 2- o2 2n /( I-y2) q2 o -y"0 cnl2 2n

Pour q = 1, x = ry, p - rp les integrales da texte donnent encore:

JO1 Cos.2 qx r 1 + e —2qr
r2 +X2 r -

lSin.2 qx
0

1- e-2qr
T 2

f'I Tang.2 qx sz eqr e-Q.. - 9dx -- 1 ---, (T. 415, N~. 4, 5, 11)
r2 +- x2 r eqr +e-9r
o
la derniere comme la difference des deux autres.
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