Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. MIe 17. N~. 9, 10?

I2(p2 -+2pq Cos. fiX+q2)1 2 f + q Cos.2 1x
- fIp +2p-q-Gos --- + q2- Sin. a Arccos. {V (. Sin. 2b x dx_
qo
(I 2pc Cos. 2x + p2c) (p2 + 2p COS. 2x + q),
0. a
pa-c_ t )a qlc, (d'apres les integrales de Meth. 41, N0. 7 et 9, apres que l'on y a substitu6
t i \ncj
xz=2y). Et encore suivant Meth. 4, N~. 12:
f r(px) Sin.x dx 0 (p, ) Tang. dx.
V( -i ). ~. (1065),.. (1.066),
_p/(l —pSin. ) S i n-pi,.)
o 0
r r (P rx) Tgang. 5xdx 67) 2 (px) dx
- V / (1-p Sin. x) x * (1067) / J (1- 2 Sin 2) 12
o o0
I 4_(- _ 2 p2)
+ E' (p) F' (p)] - ' (P) (I p
6 6 p
Les integrales precedentes, que lon a deduites N0. 3 a 9, demontrent assez la fecondite des
formules 29 a 39 de la Deuxieme Partie: et en effet elles ne manquent pas d'interet, parce que
generalement il ne serait pas aise de les evaluer par quelque autre methode, comme le prouve assez
la circonstance, qu'elles n'ont pas ete deduites plus tSt.

10. Dans la formule II, 40, prenez e' (Sin.2 x) =
= Cos.a x. Cos. ax. Sin. x, fonction impaire, alors:

1
1 + 2p Cos. 2 + p2z

et F (Sin.) =)

J Cos.a x. Cos. ax. Sin. x dx
1 +2pCos.2x+p2 x
O

' Cosa x. Cos. ax dx /I p\ a
1 + 2p Cos. 2x +p2 2 (1 __p2) 2 ' (1 )
0

suivant Meth. 22, N'. 5. Au moyen de cette mnme integrale auxiliaire on trouve encore par la
substitution dans II, 41, de la mme valeur de F (Sin.2 x) et de F, (Sin.2 X): Cosa X. Cos. a Tang. x,
fonction impaire:

o Cos.a-l x. Cos. ax. Sin. x dx
I + -pCos. x+p2 x x
0

I
0

2 Cos. x. Cos. ax d}x 7r -ap\a
1+2p -Cos-.2bx +p2 -(1 p-'-2).I..,, (1069)
1 + 2prCos. x-+p2 2(1 _p2) 2 /.....

Gardons toujours la meme forme de F (Sin.2 'x), mais prenons successivement F, (Sin. ) =
Sin. x Sin. 3 x. Cos.3,x
— +2 ' -+ ou — S_. C --- —-, fonctions impaires, dans II, 40, et de meme dans
1 - Cos.,x + q+ qCos. 1 + 2Cos.x +q2
- TaCng. cx Sin. 3 x. Cos. x
II, 41, les autres formes impaires F t (x) = - --— Og et 1 (x,) == — nou
1+ 2q Cos. 2x q2 - q 1 2q Cos. 2x + q2
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