Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MlETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES I. 4. N~. 53, 34.
-- f(q,)d= 5J 'dx. ----d- r -— d (5-)
de jQ d do d dx,
r r
formule, qui produit par la differentiation par rapport a ':
j ff(r )d +Jd. Rd, (Qr) d2.[Rf(e,R)- rf(er) d.r d.f((Q,R) df(g,r)
- ( ) dx d d + _ -r I
d2 e deQ de ded de dQ d
Mais lorsque dans la formule (53) on ecrit d.f( X) au lieu de f(?, x), elle donne la valeur de la
d Q
premiere integrale dans le. second membre de cette dernirre formule, dont la troisieme integrale
s'6limine contre la deuxieme dans le second membre de la formule (53) changee; il vient par
suite:
d2. f( d Ifd2f(e,) d2. If (e,R)- rf(e, r)] d2f(eR) d' f(Qr)
d fe) Q J d 2 d+ e2 d 2 d d (54)
r r
formule, analogue a la pree'dente (53). Ione il est vraisemblable que la repetition de cette operation donne en general 1e'quation de la meme forme:
dn. (R fRdn.f(Q ) dn. Rf/(Q,R)- rf(er)J dn.f(Q Pt) dn.f(,vr)
f ( x) -d- e,;.(55)
de"J "t / = J d n dj d n- dn d en
r r
et en efiet le raisonnement dit de BERNOULLI, c'est-a-dire, la deduction pour n + - de la formule,
admise pour le cas de n, et la demonstration que cette nouvelle formule devient identique avec
la primitive par le simple changement de n - 1 en n, en d6nontre l'exactitude par la meme me'thode, qui a mene a la formule (54).
34. Danls le cas que(f (,cx) ne contienne pas de Q, elle devient f (a), et Pon a f/()0; done:
(in. ffR d. r ^rf,)] d2 z,- R) dn..f(,,r)o
d en d fon d en
formule, qui produit, lorsque alternativement r-a et R= b ne dependent pas de Q:
-dQ] |d (x) dx =_ - d -R........... (57)
dnll. d o[rf(r)j d'. f(r)
-- | I f~(twdxp. --.r-............(58)
d j f d de (5
r
Soit au contraire r = a, R = b et la f(Q, x) seule dependante de e, on obtient:
d (,x)d~ =j| d-f(e,) dx................. (59)
a a
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WIS- EN NAT:IURI. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.