Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 4. N. 30-5.

TiILORlE, PROPR1LTE'S, FORIMULES DE TRANSfORIMATION,

zoest urie inte'g-rale Sillgudiere, exprimant la correction qu'il faut ajouter 'a 1i'integrale (51) et
par consequent aussi 'a l'inte'raie (47) dans le mneme cas.
31. ZRcmarquons enfin, que de ces trois feormules (49), (50), (51), que nous venoius de d6einontrer isole'ncnt, oii peut remonter a 1equation generaie (47).. Car F'inte"grale F (() est une fonction.
de ZR, 2', et Q, oii q est pris pour la variable iindependatite dans la diflerentiation: rnais la diff&rentiation partielle donne
et coninme les coefficients difFerentiels sont exactement donnlis dans les e~quations cite'es, Onl pent les
y substituer pour retrouver ainsi la formule (47).I
Cette, operation, et surtout celle de la formule (51), qui se pre'sente le plus, est d'eS Ign 11 e
comme la di~ffrentiation sous le signe d'inte'gration par rapport a' une constante, on bien comme,
la variation d'une constante de l'inteiq'rale [15]. LEIBNITZ 1'appelle une differentiatio de curva in
curvain, [16] et cette expression s'expliquera dans la traduction g'ome'trique des discussions
pr'ce'dentes..3 2. Soit (Figr. 2) 0 A == r, 0 L 1=R et I'aire AL 1a i'inte'grale de'flnie ff(Q, x)dx. iFaites
varier la fonction f(, ) par rapport 'a Q; alors, cette, aire deviendra A 1L?, a et s'augmentera ainsi
de In partie a 1 2?, a. Ensuite supposez r dependant de Q, alors par la variation de o, ii deviendra 0 B,:
ce qui fern diminuer Paire primitive de la partie A B ba; de m-icme in variation de ZR (comme,
fonction de, o) qui deviendra 0OM, augmentera l'aire primitive de Ia partie L MI n: ces consid6'rations expliquent les signes - et -jqui se trouvent dans les formules (50) et (49). lEt lorsqu'on passe au-x\ limnites, on trouve encore Lim. ABba=.Aa.e- =f(a),Ljim.LMml — =Lli.e '=J-(b),
comme da-ns ces formules: tandis que de, me're Lim. al1 Xa c = a 1. e~Lim. (des accroissemaents des
a
ordoniiees), le re'sultat de la formule (51). Manis lorsqu'on fait varier les limites et in fonction inte'gr~ee
siuiultanninent, l'aire primitive A 1L 1 a devient B MI at ~, -ne diff~rant de 1'aire A 1 2, a que par in
difference 1 m. ttX- a b) ct, c'est-a'-dire par ceile de deux aires diffg'rentieiles, diff6rence, que 1'on doit
~iiger par coiis'ouet; et cein nous conduit 'a In formule (47). Ainsi la courbe a 1 est devenue
i y, et voila' 1origyine de 1'expression de LEIBMNTZ.
33. Atin d'obtenir une fortnule syme'trique, Iorsqu'on continue de difl~rentier in formule
(.17), appliquons 'a ses deux derniiers termes In forrnule identique q dp — d. p g - p d q, et dell
devient:
[151 GRuN.ERT, Grunerts Archiv, Bd. 2, S. 266, qui pourtant ne fait pas mention de la correction
id de sa cause; ne'aninoilns on a souvent AC6 conduit 'a des re'sultats errone's pour avoir ne'glig6' cette
correction.
[16] LEIBNITZ, dans C. G. LEIBINITIL et Jon-. BERNoUILLIr, Cominercium epistolicum, Tom, I. (Lausannae
Bousquet. 1745. XXVIII et 484 Pag. 40.) Epist. LIX, LX, p. 319-322 et in r6ponse de BERNiouILL,
Epist. LXI, p. 3213-333.
Pag-e 24.