Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. I. 4. N~. 50.
Par la substitution de x y + R les limites de y deviennent 0 et dR, et l'on a:
f( + R) d=f(R) dR,................. (51*)
forinule, qui exprime tres-bien le principe, que nous avons suivi au Nr. 28 pour parvenir a V expression (b) et qui aurait pu servir ' obtenir directement la formule (49).
Pour avoir l'autre formule (50), on n'a qu't faire:
J f(x) dx - f(x ) dx,
*" i~'b
r
et elle se deduit immediatement du raisonnemeiit precedent.
Enfin pour deduire la troisieme formule (51), soit
(b
g(Q) [ bf(x, ) dx,
a
et rnettons Q + A au lieu de o: prenons la diffirence des deux equations et divisons par do
pour obtenir:
qP (e + e) -- (e) _ f f( +- A, )- f(e,)
A2 J Ae
a
Quand maintenant nous passons 'I la limite dQ de A e, nous avous d'apres la formule fondamentale de Nr. 2:
d. (p (e). f (+A ) (Q )
- =Lim. ' dx.
dQ ir / (e q- e x) — f(^Q e).a
Mais le theorrnme gne'ral de TAYLOR nous donne:
f(o + -) f ) + /(,f,) A)+ 2f(o t+ +.;
AQ2 1.2
done aussi, en passant en meme temps a' la limite dans l'equation precedente:
d.f(,o) * d.f(e, ) +.d2f(2 b ( b...d ) 1 b2Q )
tvd J e 2 d,2 Q + - de J dQ
a a a
Par consequent, aussi longtemps qne la derniere integrale reste finie, son produit par de est zero,
et l'on retrouve la formule (51). Mais lorsque cette integrale devient infinie pour quelque valeur
o, de x (entre les limites a et b), alors en faisant x- -Q d = 1, l'expression
L - ira. 6 dx, lim. dx ' Li - 0 '(5 2Z)
= Lim. ( )dLim........(2)
la seule partie de lintegrale qui ne s'annulle pas, et qui puisse acquerir une valeur differente de
Bage 23.