Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IIll. M 16., 17. N-. 4, 1. THIEORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

k 0
dans ce cas la fractioln k -i- - est -, i termid nee. En premier lieu, comme la valeur -
a c lf-so (x =Lr)2 0 d
de x tombe hors les limites 0 et b, on a:
(lb?k dx, /( )- k+(a+ )a k o...............(I1)
11 en est autrement lorsque le denominateur est x —; car a la verite dans le cas de r plus grand que b,
on obtient le meme resultat zero, vu qu'il n'y a pas de discontinuite; mais lorsque r est plus petit que b, la
[rurr kdk [d kdy
fonction est discontinue et il faut calculer l'integrale singuliere fk(x) k d- '= (f ) k- y2 dy
rlsn rjf( 2 + (ivp-r)2 V -4- 2
apres la substitution x y +-. tIlais au moyen de l'intgration par parties on a:
k _d y'y fr 1
j (r t-y)kd —q f (r + y) d.Ai.tg. f(r + ) Arctg.y} J d.Yf A (r+ y)
8 8 f-) A Mgtg
(- (- )Arctg -f(r - 8Arctg. Arct. - d.f (r+ y).
Passons a la limite 0 de k, on trouve pour cette valeur:
-f( -+ 6)+ -Af('- )- df(r+y)-= — f((r+-a) f(+) -f(r-) )} =rf(r-),
22 J + 2
d'oui, pour la limite z6ro de 8, il s'ensuit rwf(r) comme valeur de l'integrale singuliere, et pour
l'integrale primitive:
b kd(Ix
f(zx) - --, = s (r), (b > ), 0, (br< )......... (T)
Ainsi pour f(x) = *xP on trouve:
1 = +0,.. (623), I9 +i — 9? (b>r), 0. (b<r). (k 0). (624)
/2 -t- (X + r) 2 (-)
o *0
~ 12. MrTIIODE 17. EMPLOI DES FORMULES D)E TRANSFORMATION.
1. Parmi les diverses formules de la Partie Deuxieme il y en a beaucoup qui ramenuent B
une autre integrale definie plus simple. Nous allons donner de celles-la quelques applications (ou
en general nous ne nous occuperons pas des transformations intermediaires), enl suivant 'ordre comme
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