Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. MAe. 16. N0. 2-4.

Ici done, comme souvent, on peut employer l'integrale singuliere, ou bien se borner a l'integration
immediate en gardant la substitution c =- pour la fin.
6 e-pkx - e-qkx
3. L'integrale.- ------ -- dx, pour k -- oo, se trouve dans le inme cas, car en ge-a
eP —P e-qkx 0
neral ------- est nul, sauf le cas de s zero, oit la fraction devient -, indeterminle, et cela
x 0
pour une double raison; car pour cette valeur zero de x, pk-x et q ak sont 0. o, indetermines,
et par consequent le numerateur est indetermine aussi: mais ffit-il meme zero, alors encore
cause du denominateur zero, la fraction serait indeterminee. On trouve done pour l'integrale sin+-s e-pkx -_ e-qkx
guliere, correspondant h x zero,. ----.. ---- dx. Supposons kx- = y, d'ohi nous deduisons -- k
x.
et 4+ hce pour limites de y. Or, Ic est infini, done ces limites sont - cc et + oc, et l'inte'grale egale a
co epx - e-qx q.... - --- dx = 2z 1 [164],.. (621)
x P
b e-Pkx e- qkx
par consequent: J dx. - (a < 0 < b), 0, (a>0, ou b<O), (k =.0). (622)
I A1~p
a
oi\ la derniere valeur est zero, puisque le cas de discontinuite nl'y tombe plus entre les limites
de l'integration. Lorsque a est zero, l'integrale singuliere doit etre prise entre 0 et t, et apres
la substitution de k.V =y entre 0 et oo: de sorte que suivant Meth. 9, N~. 22 on a:
5b e-pkx e-g-^
------- -dx -. (k= 0). (T. 149, N~. 16). L'int6gration immediate aurait conduit aux
'O
mnimes resultats. [165].
4. Etudions encore l'integrale g6nerale | (x) -- ( -,pour - 0, ou/(X) soit supposke
jD f() 4+ (x~ ry)2
0
etre continue. La fonction 'a integrer devient discontinue, lorsque avec ki 0 on a aussi v='- T r, car
Ia valear double, puisqu'il prend l'integrale singuliere de --, a s, au lieu d'entre 0 et ~,
G e-pxe —qx
[164] Car on a Methl. 9, N~. 22: d = 1 Prenez -,, - a, an lieu de
J x p
o
p, q, x, l'integrale entre les limites -- oo t 0 aura la meme valeur et le meme signe que l'integrale
citee. La somme en fournit done l'integrale (621).
[165] Voyez en outre Meth. 15, N0. 8.
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WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.