Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I. 4. N:. 29, 50. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
29. Le cas general, oil la fonction integree et les deux limites dependeilt toutes de e, comme
nous venoils de supposer, comporte quelques cas speciaux. Ainsi en premier lieu il se peut que la
fonction ne depende pas de e; alors elle devient simplementf(x), et 1'on a:
d. [^ dR dr
d- f (x)dx f (eQR) - (r)....... (48)
dQ ' de 'o
r
Lorsque encore r et R sont alternativement independants de o, on en deduit:
de~d. de~
d (x) dx =_ f (R) (49)
d Cld
J(.()dx = -f(r).(50)
Lorsqueau contraire ce sont les limites, qui ne dependent pas de Q, tandis que cette lettre
entre seulement dans (,x), il vient:
d. b b d.f(Q, x)
d J (e, )d ). J ).......... (51)
a a
30. Les considerations prece'dentes nouss appreinnent, que le setcond membre de la formule (47)
consiste de trois termes, que 'on retrouve separement dans ]es formules (51), (49) et (50). Mais
on peut encore deduire isolement ces trois formules, et affermir ainsi les resultats obtenus:
fR
eln meme temps cela donnera lieu a quelques remarques. En premier lieu, dans l'integrale f () dx
a
faisons croitre la limite R d'une diff6rentielle dR,, la formule (3) nous donnera successivemelt:
r(x) dx = Lim. [8 {f(a) +-f (a + ) *. -/f(a + [n 1] 8)}]
a
J /(),d = Lim. [S {/(a) +/(a - ) +... -f(a + [n- 1] ) +(a-t- )+,}];
et par consequent:
I4- dR drR
f (x) dx- f(x) dx
a "dR a dR (x) dx=- m + Lin.f(- + )
a
puisque d R peut etre consideree comme etant le 8 de forinule (3), et de meme a - n = R. Ce
resultat n'est autre chose que la formule (49): car, si R dependait de quelque autre quantite,
dR dlR
on aurait dR -d- dQ, et, en multipliant de part et d'autre par -, on retrouverait ]a formule
citee. Mais encore on peut ecrire l'equation precedente de la maniere suivante:
f(x)d — ( dx f(d)dx f f (R)d R.
a a 2.
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