Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

IlI. Mde. 16. N'. 1, 2. THEORIE, PROPRIETES, FORIIULES DE TRANSFORMATION,

rb rg-s fgcs
s'agit ici d'uue i-ntegrale singuliere. Or, ol a: j i,) dx == jf(, x) dx +4 f (h, + x) d -, ) d.v.
a a g-s g
De ces trois integrales partielles, la premiere et la troisieme sont dans le premier des deux cas
mentionnes, c&est-a-dire que la fonction f(hi,x) ne devienit indeterminee pour aucune des valeurs de x
entre les limites ct et g-, ou entre les autres g 4- et b: ces inte'grales sont nulles par consequent.
Tb rg+E
Quant a l'integrale au milieu, il n'en est pas de meme, et l'on doit ecrire: f(Jh, x) dx = f(, ) dx.. (d)
a g —
Tout depend doic ici de 'existence d'une valeur g de x, qui, situee entre les limites a et b de x,
rende f (h, x) indeterminee; lorsqu'elle existe, on a I'equation (d); lorsque au contraire elle n'existe
pas, lintegrale primitive est nulle. [162].
2. Soit l'interale j -k q-2 ct k -= 0; dans ce cas, la fonction k - devient nulle avec
V + k-'^-X2- ' 2 + V
-— a
k, liormis lorsque x est zero aussi, car alors elle est 0, valeur indetermine'e: et comme cette valeur de x
tombe entre les limites - a et b de x on a l'integrale singuliere (d) pour g nul:
[ k + kd —.- d.Arctg. - Arctg.7- Arctg. — = Arctg. - + r — Arctyg. - (619)
k 2 4+ 5 2 k k k \
Or, l'integration immediate aurait mene dans cc cas-ci au mmne resultat: car on trouve:
b x b -a a.\ ( n
j Idk+ kd.Arctg. Arctg. i — Arcgt.- - rctg. k= — -A +
-a -a
Oi l'on a suppose enfin k zero. - Lorsque au contraire la limite inferieure etait -- au lieu de
— a, il n'y aurait plus de valeur g entre les limites et l'integrale serait nulle:
fi-bk d'.2(S20)
di2a - - 0. o, *.................. (620)
A-a
comme ii resulte aussi de l'integration imnediate:
k-\b kdx (+x b0 a
i`-r1 kef, IP
2 7z -.Arctg.= — Arctg.- Arctg. 0, pour k 0.
-4- 2a -a T
Si encore la litnite inferieure est zero, il faudra prendre i'integrale singnliere entre les limites 0
et, d'oui il doit resulter une valeur moitie moindre. En effet:
lb6 k cl za f rxk dx x Z 7f
-2d. Arc/. 9 ---- t. Arct.- A g.. (T. 34, N'. 2). [163].
k k^ - x -F k ~- -t- dx' k k 2
o (} o o
[162] On pent consulter sur cette matiere SCLOLuMTLCIn, Grunerts Arcliiv, Bd. 11. S. 63.
[163] MEIJER (aln son Expos EI ntire e a Thoe Ees Integ.ales Definies trouve fautivement
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