Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METIIODES ID'VALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. III. ldea. 15, 16. N. 8, 1.

f 1- A d 1 A Io ( B -- )P chaquce,
dx Al + 1/c~^ + g Ba -- I pour c1aque k,
(j -x 2k i nic2n
rl 1-ak
done: Liran. d --- x = A - 1c, Lin. k G o. (T, 3, N'. 6).
0
Prenez-y alternativement k = ak et k = bk et soustrayez, alors il est:
l _ ak6,xb4 b
Liram. I dx k -- =I -, Lim. k: 3. (T. 5, N~. 27).
-- x ak a
~ 11, TIMoETOD 16. CAS OU LA FONCTION A INTEGRER S' VANOUIT POIJU
UNE CERTAINE VALEUR DIUNE CONSTANTE.
1. 11 arrive souvent que la mnethode d'evaluation d'une integrale defiuie comporte lPintroduction d'une constante, qui doit etre eliminee apres. Une des voies les plus usitees pour parvenir '
cette elimination est d'attribuer, s'il est possible, une telle valeur a une constante quelconque qui
se trouve dans l'integrale primitive, que celle-ci s'evanouit. On a dej fait usage de cette maniere
d'agir dans quelques-unes des ieMthodes precedentes: on lremnploiera encore souvent dans la suite.
Cette methode est done basee sur la valeur qu'une integrale: f(c, x) dx= P(a,b,c),. (a)
a
acquiert, lorsque pour la valeur h de la constante c, on a f (I, ) ==0. En general onl en deduit
b
alors: f (tl ) dx;:= (a, b, h) 0,. (b); mais cette ddduction n'est pas toujours rigoureuse,
a
comme on va le prouver: notamment elle est incertaine, quand l'integrale definie (a) exigela condition c plus grand que Ah ou plus petit que It.
Retournons a la definition primitive d'une integrale definie, c'est-a-dire h l'equation (3) Partie
b
Preomiere: Jf(cX)d r-Lim. {f(c,a)+f(c,a-+)+f(c,a+28) +... -f(c,a -[n-1] )},. (c)
a
et supposons que la valeur Ia de c rende f(/,x) zero, alors il arrive de deux choses l'une: il
se peut en premier lieu que J(h, x) s'evanouisse pour toute valeur de x entre les limites a et b:
des-lors chaque terme dans le second meinbre de l'equation precedente s'evanouit separe'nent, et
l'integrale elle-meme s"annule par consequent; - mais en second lieu il peut se trouver entre les
limites a et b des valeurs de a, par exemple g, telles que f(c,g) ne s'evanouit plus, mais
devient plutot indeterminee ou meme infinie: dans ce cas le terme correspondant Jf (c,g) ne
s'annulera pas toujours, mais pourra acquerir une valeur determin(e et differente de zero, - On
s'aperCoit aisement, quici la meme chose a lieu qu'au N~ 7-9 de la Premiere Partie, cest-a-dire qu'il
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