Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. Mde. 15. N0. 2, 5. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Sin. x
aux formules I, 183-191 au moyen de la supposition f(x) == --- -: comme
1 - Cp Cos. x -f

/2c4- I Cos. c
f -- \ - C -O -- n'est pas nul, on trouv
2 l+p2 2
fa S i. {(21c + 1) x}. Tang.x dx
Lirn..-
1- 2p 2 Cos. x 4- p2
"o

(,= 2) (2- < a< cr- N,.. (591)
\ 1 \

faSin. {(41 - k2) x}. Tang.S dx
1 -- 2p Cos.x + p2
0

J a Sin. 4 kzr. Tang. x dx. (592) == - Lirm. J C.
I 1- ~2pCos X +p2
0. (593)

- 1 1 \ p I37T 3wT 1 / 3 7T
2b 1 T / 2b-k 1 ) b+1 2b+1 \
_ —(- 2 T, a = - + C, c < 7T, L%. k o
2 1 -p2' 1 1 _-p2 2
d'oh il s'ensuit que le resultat de vmEIJER [160] (T. 84, Nr'. 12) est fautif.
3. Un autre systeme d'integrales, dont ous aurons besoin, est celui au denomiinateur p2+ 2
- aSitn. kv dx [ aS'i. kxf dx
Les intedgrales Limn. c 2- et Lin. -- se tirent des formules I,
j Cos. x, p 2 +- 2 J Cosx p + 2
0 0
183-191 par les suppositions respectivesf(x) - - fetf(x) -: mais cormme lesf -- )
p21+. 2 2x
ie s'annulent point ici, on a: Lirn.a - --- ===0 a,. (594)
Cos. x p2 +x 2 /2

i aSin. {(4 k - 2) } I d
Lian. -
Cos. x p 2 q x z

a Sini. 4 kx dx... (595) - Lirn. — C - _. e (596)
Cos. x p2 - " +- '
0
f7r 3 \ 4w 2wT / 3 \
- 2<a < $ -,a, ==41^- 2- t- _ a a= - =
2'. 2 4' 2 +p2f 4p2 -2 9 7 21I

a == --
4,p 2- Tr2;2

4 _
4p2 +4w'

a4w 4r 4w7Cos.bn _2 Cos.bw 2b+ 1
-^-4+^^4l —~-I-p_ ----p2 (2b_ )2ff2 a 2 -J ___
4p2 7+ 2 4192 +p 9wl2 4p 2 + ( b- 1)2 wT2 4p 2 + '2b+ 1) 2 w P

4 7r 4 7 4r Cos.brr
4p2 t- +r 4p2 - 9w;2 + + 4p2 + (2b + 1)2 7 a=

2b+ + c
2

< c <;
/

a Siln. {(( k 1)x} xdx I - \ 1 \
Cos. xt p2 4+ x 2 (597)
faSin.f (4k+2).x} $ d Sin. 4k x x dx
Lin os.' i2+2. (598) - Lim. I --- — os c. (599)
f Cos~x p2-}-^ J Cos. ' pa-q-x2
0 0.
[160] Voyez MEIJER, Expose ele6mentaire des Integrales Definies. (Bruxelles. AMUQUARDT 1.851. IV,
520 et IV Pages 8'). p. 220.
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