Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1. 3, 4. NV. 27, 28. TIILORIE, PROPPRIT1AS, FORMIJIES DE TRANSFORMATION,$

Dans le cas d'n p, imaginaire, diff6rentionis la formule (46*) par rapport 'a p; d'apr's ce que
iious apprend (" cc sujet le ~ 4 suivant, il. vient:
dl f (pv
dp- j{0 )p(a)lx
on, lorsqu'on applique au dernier terme l'inte~gration par parties (voyez le Nr. 41 suivant):
j i' (px) x dx f x. d.fc(pxr) =:- xf (pxd - f f(x) dx,
0 0 0 0
et donc par la substitution de co re'sultat dans J.'equation pr'c'dente:
dp J(px) dx xf px jJ(px) dx= f (px)}
0 0 0 0
Or, d'apires la supposition, ni f (p. 0), ni / (p. oc) no deviennent infinies: par consequent ii. est xf px),
pour x zero, 0.f(p. 0) z.-0. Supposons en core que pour x infini la valeur oc f (p. oo) de Xf (p,),
'&'vanouisse en melme temps, nous en tironls d[ 0c'Cest-a'-dire, quo l'iut'gae s indponae
de p. Lorsquo encore parmi les valeurs de p, qui rondent continue la fonction f (px) entre les Iimites 0 et cc de x, il so trouvo la valeur I'unit6' do p, il y aura 6videmmnent identit6' entre le's
doux expressions (46*) et (46). Par consequent on. so trouvo conduit au theorerne suivant:
Lorsque on sait qu'une fonction f(px) reste continue pour les valeurs de X entre 0 et 0&,
quo le produit rf (pv) s'annulle pour x infini, et quo la valeur l'unitg' de p satisfait a' la prenie3re
condition, l'intoigrale fpf (px) dx est inddpendante do p, quo cotto constanto soit reoello ou imaginairo,
0
et ello peut i'tre romnplace'o par l'autro plus simple ff(x) dx. [1-4].
0
4. DIFFE'RENTIATION D'UNE INT&PG`,LE DJUFLNIE.
28. Conside'rant une integralo de'fiuio, sous la forme la plus geuerale
J f(q,x) dx,
comine uno fonction dos trois quantite's, r, li et Q, on pout so proposer lo prob1e'modoela diffegrentier par rapport "'R uno do ces quantite's se'pare'ment, oili alors los autros peuvont soepre'snter coirmm
[14] CAIctiY, Comptes liendus de 1'Acad. do Paris, 16 Oct. 1848. - IRAABE, Journal von Crelle, Bd.
48, S.160.
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