Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11_d. Mid. li9 12. N0. 3. 'I, 2. THEORIE, PROPRMETE S, FORIULES DE TRANSFORMATION,

ici encore ii n'y a aucune valear finie de p, qui fasse evanouir l'intgrale primitive: car pour p 0
elle devient infinie, d'oi C, =s et 1'inteugrale elle-meme est infinie aussi. Par lintroduction
de deux autres constantes pourtant on poet eliminer les constantes C et C 1; car designons l'integrale proposee par I (p), nous avons trouve: I (p) = (p-+l) f{l(-1)-1)} +Cp+C,. Done de meme:
I(q) - (q ) (q + 1) ft(q i+ 1) -1} + C + C,, 1 () (r 1)f( —1) -1) +Cr+C 1 soustrayons les
deux autres de la premiere, il vient: I (p)) —(q) =-(p+ 1)l(p+ 1)-(q+ l)l(q- 1) —(p-q-)+C(p —q),
i(p) —I(r)=(p+l)l(p4-l)-(r+l)l(r-l)-(p —r) C(p —r), oi deja la constante C, est
elimiree: or, il est facile maintenant d'eliminer aussi la constante C, puisque dans les deux
dernieres equations on trouve (C 1) multipli6 par (p-q) et par (p-r) respectivement: on
tronve par cette elimination: (p-r) I (p) —I (q)} - (p-q) {I (p) ()} " (p-r) {(p ) l(p )
-(i+ (c + l) 1) - )} (p -— 2) {(p -4- 1) (p 4.- 1) — (. (r- + )l(r-+- 1)}, d'olh enfin par la substi-. * [1 (q f( r)P + (r-p)q (p- q)
Lution des integrales pour I (p), I(q), I(r): ()2 dx
o
(q r))(p + l)l(p + 1) +(r-p)(q+ 1) l(q + + (p2q)(r+.)l(r + 1). (T. 1 68, N". 6).
~ 7. MEiTHODE 12. ReDUCTION A UNE AUTRE INTGIGRALE DEFINIE PAR
LI)NTITGRAOTION PAR RAPPORT A UNE CONSTANTE.
1. Comme dans la Megthode 10 la differentiation par rapport a une constante ramenait
quelque integrale definie proposee 'a une autre plus simple, de meme on peut quelquefois atteindre
ce but au moyen d'une integration par rapport a une constante: des-lors il entre dans le resultat une constante independante, qui cependant ne nous gene aucunement, parce que elle devra necessairement 'etre eliminee idans la differentiation posterieure.
2. Pour Fintegrale I — - e- x x dx, integrons par rapport a q, il vient: j I dq t C -
o
-' e-qqx-q
e- - e0 dx, suivant l'integrale (61). Differentions par rapport a q, nous aurons:
0
i!(ldq~e(T. 12, 2 W 1). f
g2
Soit I - e d'o par l'integration par rapport a q: I dq + C - xi d
o o
— 1. — (e~ - i- - 1), d'aprus lintegrale (67). Maintenant differentions par rapport a q, et il vient:
| e(1 2 q-i- -- 7eoee) e2q7i9 ( 563)
jeqi x (5'
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