Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 3IMTHODES D'VALUATION DES INTEGRALES DEFINlES. [Il. Nd i. 2{ 9 ~ 2.

(0 e-lCos.2 qx,d[
Oi. PS oit I e P — Cos 9 dx: diffe'rentions deux fois par rapport q, alors:o 0
di- 2 9 dq p 2q
q ' ' dq t 2.4.q P
miva-'itrons ula e fis yat ray port de, alos:suivalnt la valeur de —, elle s' evanouit pour q -(- 0; ceci nous donne C 0 et par consedq
d Ip
quento r ILerons encore une fois par rapport 'l q, et nots aurons:,1 A IX -9 e- * Arctg.- dq + 0 (p 2 - 2 = -2) -f' C2 t
J a^ ) P P ^
iMais finteur ale e s'e evanouit pas pour q - 0, aul colnraiar e devient alors infii: d ou i
sensuit qne l'inle'grale proposee est elle-meme infinie. Toutefois on peut en tirer un resultat int-'
ressanst en posant q -== r dans la derniere equationI t etn la soustrayant ensuite de Fautre; de Sliors g est elimine et lon a:
d [2 p p p 4 p2 CP 4l2
rC e' tnle seconde fois par rapport 'a p; dans ce cas on aurait o: 9t'- ] - - ------ eiet
dq fi p +4q2 - b dq j x
o
a2 0 fx o2x
9^ — C -P^S2in 2qxdx^ ----, ' voir AMeth. 4,.11. Int(grons maintenant par rapport a
dp dq 2. 4q 2
p a et nous aurons - lC a d'n a+n2GArc m-anrC; nmais comml e l'integrale d s'arrnule pour
'dq j P 2 p ^qd2 p dq
q 0, il vient: 0 =O Arctg.e C - C C; par consequent: - _= Arctg. - — =- Arc g.0 2 dq I, q 2 p
comrme ci-dessus; et des-a-present, nous pourrons continuer comme precedemment.
f axP dx
3. Soit encore I l et differentions deux fois par rapport 'a p, nous obtenons:
0
d I fxPdxd 2 f 1 dl d
d — d.-j'' p 2 xP d 4; = v;integrons par rapport 'ap, alors: -- -
dp p 1 odq 1-P
0 0
integrons encore une fois par rapport a p, alors: I + 1) {l(p a 1) - 1} p + C, Mais
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