Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. MIde. 10. N. 12-1-4. THEORIE, PROPRIETES, FOR1MULES DE TRANSFORMATION,

Puisque pour q = 0 l'integrale I s'evanouit, il faut integrer entre les limites 0 et q; des-lors:

J x2 dx
vjliV~) / (I -
I 1-(1+.+q)]
1 - d.
2 I+V(I+q)J

'J 'Y q 2 fq 4 1 r.f {q
Z qn + — 1- (I -./ ({ +,)} -
2 dJ 2q- 9+q - (1I L q) -
0 0

{ I l+~/(l+q)
t ' I '

1l — (1-+-)j { (T. 165
-- + t/(1 + q) '

N~. 8),

f2 f2
f 2 (1 si. () qSin.'2 a. dx z - v Z (1 -F q Co8.2 C,:) Cos.2 tx dx, (T. 335, N~. 5 (t 7). Par
o o
voie de soustraction on peut combiner ces integrales avec celles qui precedent et l'on trouvera:
il(['+-q2)dx/(1 —~ ) / I1I ~/(1 1+q)+1/ q)
rr q( r
r2 r2
l( t 4-ga;2) dx /(+) 2 j, (T. 162, No. W>
0
= [ /(I + q Sin.2 a) (7os2.d... (556!, 1x(1 + q Cos..x)Si.2 xdx. (T. 335, N'. 6).
o o
xf Cos. xdx
13. Lorsqu'on diff'eretie 'integrale I - Arctg. - —.. par rapport a p, on trouve:
o
dl 'Cos. X dx X Cos. x dx
dI- ox# - - - Oo -}.-d2 -- - 2 e-P, suivant Mtth. 5, N". 8. ais ici
dp ] S P2 -{ 2 2 p- 4r2 2p
0
1'itegrale ne s'evanouit que pour une valeur infinie de p; par consequent il faut integrer depuis
/so x Cos. xdx P Tt T
oc jusque h p, et l'on aura: Arct. - - --- e-dp — li.(e-P).(TA., N4 2).
0
j ppxT_ (jj_
{t7 / 1\
px P zF IVjF~
Chaingceonsp dans —, alorsparla formule connue.Arctg px ~ Arcg.- Arety. - A retg.
0 ' p 1 p[::p, a ':h pv -
P
qui vaut pour chaque x; positif, on trouve:
rj~ orct} dx!: coi. (()b-.(e)}. (57 et T. 431, N. ).
j \ i 1 j x 4- x 0
0)
e-q-x — e —?x dl
14. Differentions l'intdgrale 1 -= ----- Sin. pax dx par rapport i q, il vient:
= e -qx Sin. px dx - - P _,d'apres Meoth. 4, N. 1I. Nous voyons tout de suite que l'integrale
_)' 2 1nr
o
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