Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. Mde. 10. N~. 1. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
d'apres Afeth. 1, N". 13. Inutegrons depuis la valeur zero de p, puisque alors 1'integrale I sevainouit, no1ts
aurons: 1rl(1 ipCos. x) d nP \p (ou par la substitution de y I2 -_ 1, p~ (pt -- (-p'2)
O 'O
dans la derniere iintgrale) -= 'd.lp+- d.l — =
1l —dy1 -- sp d.1 1-y
0 I '0 1
= 2 d1 —~- d (2= -, l(etn retournant vers la variable primitive p),
o o
= 1 f c.t{I+/(l-p-)} I I-( —P1 - (T. 335, - N 9), ol l'on doit avoir p2 < 1,
d'apres l'integrale employee. [140].
Pour - ==, d'oi q' > 1, on trouve apres la soustraction de i'integrale pdx =. l:
l(q C os.x)d x 1 - — ~(!) (2 > 1); (T. 353, N~. 11, 13'), d'oit pour q _= 1 on
o
dI dq
le cas de q2<l, on a: -- = C. ---= 0 pour q2 <1, voir Meth. 1, N~. 13; done:
6dq j q i ~Cos.x
o*
t (q ~- Cos. x) ' dx = C. Pour determiner C supposons q = 0, alors la valeur de l'intte'grale est
o
trouvee etre (Meth. 4, N'. 4) 2 T1 2, done: l (q ~ Cos. x)2 dx - - - 2, (q2 <1); (T. 353,
o
1
N'. 10, 1 2). [1l1]. Pour ' =- elle donne encore:
__~_ P
[140] Poor p =: 1 ces integrales valent encore, car les integrales f 1(1 z Cos. x) dLx == -72,
' ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~0o
(T 353, N. 7, 8), coincident avec celles, que l'on a tronves Mlth. 4 h la fin du N'. 4 et au N0. 3.
La soimme des integrales dans le texte donne eicore pour 2 <1:
0
[141] On en ddnuit encore:
j Cos. x)2 d =- - 4 -T) I 1), f,'2 " I 7 (q2>1).(T. 353, NW. 14 et 15).
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