Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. IlI. 5I% 10. N. 10, I.

x dx " p..-.. ---.2....., 'apres Mth. 27, N~. 2 Pour p - 0 on a:
p2 -t-z q2 _ x2 2 pd (t
O
2x rct } ( d dc x
Arccot.- = —= Arccot. o -)0, done il faut integrer depuis p 0, et des-lors: i Arccot. - -
fZ'~~~~~~~~~~~~~. p d x-q2
0
[P TC p TT [P + p... d. S2- I dl(p'+q2) --- d.(. (T. 265, N0. 13). Pour p q 1 ion en tire:
12 +q2 q+9 ].
4. a2 --- - x 2 —1 I x2 -1
0 0 1.
$1 Arx. rccot. x -- - rca. x
la derniere integrale supposons x -, alors il vient: -- --- ----- dx - 2. (T.258, x.28).
o —.........4.
0
Soitl == Ar,-tc. (a ) - - -- -- -et dififrentions par rapport b, alors: - - --- - -. --- —.-.
(a '11 2 A — (a-r +b)2 1. +-2
-Oc~ / co
1 ___ r a2+r(1 - -i ) x f[ t (1 +- 2)2a;b-(1+(a2-62)b2 *
(I +a2 22)2 + 4 a262 J 1 +x ciV2 I (c + bx)2 bX 2
-00 — 00
dans la derniere integrale prenons a + bw = y, ou les limites de y deviennent - co et oo, et ou
le denominateur devient 1 + x2 et le numnerateur (1 - a b2 62) a + (l + a2 -b2)x; par consdquent la reunion des deux integrales sous un seul signe d'integration fait evanouir dans le
numerateur le terme qui depend de x, et il est:
dl - 1 (] -a - 6b2 b) a 1+a2+b2 —2b
db (I+a2 —b2)2 -4a2 62 j '- 2 1 + 2 (1- a-b2)2 b,4a 2C * t
— Co
Lorsqut'on integre maintenant de b == 0 a b == b, on a pour la valeur de la constante 'L ajouter ce
que devient l'integrale I dans le cas de b == O. c'est-a-dire: rctg. a — --- 7r Arcig. ac, done:
— 0C
00 fa- 2a
J t(a+ 6) a T. A rctgq. - + c ictg (a- ~_ b-2 l-) + a ) f ---- } =
-o 0
' / 2ab \ 2a \.r 2 a a
Avctg (a-{-bx) I.
= TArctg a Arctg. a ------ - - Arct. / =.
-~-.( )}.tfT. A271, N'..).. dl ( Cos. n f 1 x
11. Pour I = I (lV p Cos.x) dx, on aura: cip, | p- G....
J ' / / Jp I lge~~p~ow1.po. p k/ "( P-p'
0 0
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