Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

111. Mde. 10. N9. 9, 10. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

La troisieme integrale ensuite donnera pour Sin.2 ac - -:
1+p
-Ft^Jl^^^ ^l^ N PlI Ft ) F -/(l ---p2) 3 (T. 3418, N. 11).
I ( _l-p2Sill.2X) 2 8/ <
0
La somme de ces dernieres int6grales sera encore:
21(1 — p2,Sin.4 x) dx 1 4,1(1-p2)
t(1 _p2 &9inl^');t) _ F (p)F(1 p2)}) (T. 348, N. 16).
V/ (l —p2 Siln.12 x) p2 4L
o
Enfin dans le troisineme cas soit c = 0, alors:
i 1(1 Sinj.2a) -1T lCos.2x 1 x]-p f
J / (1- p2 Sin.-' ] ~ } V(1 - 2Sin 2 aX) 22 2
o o
(T. 347, tN. 11), d'ou, suivant Meth. 4, N~. 8:,Sin. x T r
V' l -p2 dsin ) (p).lp {V-( p } (T. 347, N'. 4).
j /(t — p2 ~in.2 x) 12.f0 Arctang. px dx
10. Soil 1 = 2 P -, alors la differentiation par rapport h p donne:
j q+ 4 xF *
AL dx 1.,
d i- ^ (1 d- p x-)(q -- ) 1 - p q — 2*, suivant l'integrale (475). Puisque l'integrale sdvadp j (1+ p2 2)(q2 + 2) + pq 2q
'0
nlouit pour un p zero, il faudra integrer de 0 B p, ainsi:
J Arctq.px dx T rP dp (1~pq).- (48)
j' g",-_.y- -11 _ f2Q ~ |. -- _ p ---;n~93 (1-2- +pq)~ C139].....*.. (58)
o. 3. o
l ~ -t- x ~ /t 2q 2q
fi da? dl A d1; ff
Soit I - Arc v. alors: g -
q (1 __ 12j) dq (+ 2 ( 2)
0 O
suivant l'integrale (398). Ici encore l'integrale s'evanouit pour q ==- 0, donc:
dx, fq,wdq Tr
|( ' X - (2- 2) (- + )
x xd d
Soit I -t Arcot, ----— 2 et diff'rentions par rapport ' p, alors il vient: -
-. x2 _. 2..
0
[139] Elle est d6duite autrement Meth. 37, N0. 5.Pour p - 1 oil a T. 266, N~. 2.
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