Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Ill. MAl 10. N e. 8. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

on obtient, puisque pour q -O l'i0tegrale s'evanouit et que par consequent alors il n'y aura pas
de constante 'i ajouter: [130]
7rq
Ixp+x-p-q dx r [9 qc. - / -- -\ p+e. yd
_-ISec. -dq Sec.ydy poury= - — 1 Tg. (T. 17 5, ).
1+x213 - lx 2P -ix 1 2 2 p J 4
0 o o
pv-p+q + xp-q dx
Lorsqu'on avait I = ---- la differentiation par rapport a q donnerait
o
d fItp ~Pq — xP —q dx TT Qr
J- __- x= a — p - -Tang.-, d'apres Meth. 7, N0. 10: mais lintegration entre
dq I3 -Pp x 2p.p PIP
o
r1 2xP dx
nule pas pour cette valeur zero de q: au contraire elle devient dans ce cas: J -- 21
I - -xp cvlxlx
0o
la valeur de C par consequent: done en retranchant cette integrale de lintegrale I, on aura:
JlxP+ XP- - Q,2xP dx
f= — ag. dq d.Cos.l I -C os.I, (T. 175, N~. 10),
1-Ptp xx 2p p T 2p 2p
0 0 0
qu'on pourra ecrire aussi sous la forme suivante:
l(xq -- - q)2 da: _ Trec -:
lSec.. [131]............ (544)
o
La nmethode employee nous a indique que Pintegrale proposee ne saurait &tre evaluee, c'est-a-dire
qu'elle est infinie: et c'est le cas en effet.
[130] Parce que par la substitution x 2=~ —2 on a:
fSec.:'_ (= ' -1- -- -p | _ d.l Tanag.. Tag. - TI g.
0]J~~ 2 Sin.y.Cos.y 2 3 24 2 4
")0 "r —'p 2r —2/t
4 4
[131] Pour q -- 1 et p == 2, elle donne:
1 -x dvx 1
fIl 1 —_ x). -12)............... (545)
(1 -) + ).,(1 - ) l 2
Une determnination exacte de la constante a etc quelqlefois onbliee et c'est polrquoi l'on a parfois obtena
par cette Methode des resnltats fautifs: voyez entre autres EULER, Novi Commentarii Petropolitani,
T. 19, p. 30-64, p. 66-102, deux dissertations, qui ont ete recueillies dans ses Tnstitutiones Calculi In.
tegralis, Tom. 4, Suppl. III, ~, 2, p. 122 et Suppl. V.. 1, p. 260.
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