Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

III. MdIe. 10. N~, 4, 5. TllEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
f0 dhz t1742dx 4- +r+s Iq+r+S q-r-S q-r — s\
et a' l'aid e de ep Sin. qx.. Stn. sx. Cos. qx- - Arctg. -- -A
x \ P! 4 4 \ P
0
q- ( +g... / + p +.. (q-2
o
- 94 A+ -PS 8 p2+(q +s) 2 -p2 + (q e-4)-"
f00 r + +S)2_pl-(2, q-rJ
qui se deduit aise'ment de (523): e-Px Sin. qx. Sin. rx. Sin.s x r(r.) -- -- -
x3 8P
8 x 8 8j
(g_ )- 2 q ^+ r —i s + q, + rs- - ^ ^ - -sxi
1..5. I- j ----— = dx. Diifferentions par rapport a p, alors - -- dx -, donle:
J ~P~~~~~
o 0
j x q
I =0-f- +, C Ip -t C. Pour fpterminer cette coqsta-te C, obsel vons.ue pour la v.aleur q.le p
l'inte'grale `Isnule, donc OI1 a: O =Iq+-C e -t par rdalp. (T.167, N'.4).
Elle donne lieu a des corollaires qui ne manquent pas d'interet. Pour p =p -+ 1 ct q- 1,
elle devient: | — Ix — dx = l(p + 1). tT. 167, N~. 3). Mettons-y p + q au lieu de p et prenons
U dx
het; Gonootshap: CE1n onvCPmoeido arbeid, enz." Dctl 1, Stuk 2, 3," oi jo tronvo enpo n pour' va valour
de 'int'grale generale Il= e - Sin. q. Sin. rx.... Sin. v - -- (a T 1i factcurs Si7nus) la formule symbolique:
1
I,- (cy-p)2,,.*....... (528)
oil tout rs les puissances u, - 2, -4,... dle 1/ doivent etre remplacees par drctg. -, los autres puissances n - 1 3,t - 3,n - 5,... an contraire plear D i(/2 4 c2). Pollr il faut mettre successivemlet toutes
les sormes possibles des az - 1 elements, ', s3..., (oil par one somme nous entendons toute combinaison avec les signes -t et -).
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